Feladat: 1831. fizika feladat Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyuricza Béla ,  Vladár Károly 
Füzet: 1983/november, 179 - 182. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Egyéb merev test síkmozgások, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: 1831. fizika feladat

Homogén, téglatest alakú tele ládára v ízszintesen rálövünk (lásd az ábrát). A golyó a talajtól h magasságra csapódik be, és nagyon rövid idő alatt lefékeződik a láda falában. A láda és a talaj közötti súrlódási együttható μ. Mekkora legyen μ és h, hogy a becsapódás pillanatában a láda ne csússzék meg? Adatok: a=1 m, b=2 m.
 

1831. feladat
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

Ha a golyó t idő alatt fékeződik le teljesen, akkor a ládára átlagosan F=mv/t nagyságú erővel hat, ahol mv a golyó mozgásmennyisége. A nagyon kis t esetét vizsgáljuk, vagyis azt, amikor F olyan nagy, hogy a becsapódás ideje alatt a súlyerőt elhanyagolhatjuk.
 

A becsapódó golyó a ládát megbillentheti. A következő esetek lehetségesek:
 

A) A láda balra billen, a bal alsó éle nem csúszik meg (1. ábra).
B) A láda balra billen, és a bal alsó éle jobbra csúszik (2. ábra).
C) A láda balra billen, és a bal alsó éle balra csúszik (3. ábra).
D) A láda jobbra billen, és a jobb alsó éle balra csúszik (4. ábra).
 

Jobbra billenve a láda jobbra nem csúszhat, és a láda éle helyben sem maradhat, mert ekkor a tömegközéppont is jobbra gyorsulna, ami ellenkezne a mozgásmennyiség megmaradásával. Annál az élnél, amely körül a láda billen, a ládára ható erőt felbontottuk a talajra merőleges N nyomóerőre, és az S súrlódási erőre. A feladat csak azt kérdezi, hogy mikor valósul meg az A eset, de a pontos válaszhoz a másik hármat is meg kell vizsgálni, vegyük tehát sorra őket! A golyó m tömegét el fogjuk hanyagolni a láda M tömege mellett.
 
 

1. ábra
 
 

A) (1. ábra) A láda tömegközéppontjának vízszintes és függőleges irányú gyorsulása akkor, ha az él nem csúszik meg: ax=βb/2, ay=βa/2, ahol β a láda szöggyorsulása; a pozitív irányokat az 1. ábrán jelöltük. A három ismeretlenhez ‐ N, S, β ‐ három mozgásegyenletet írhatunk fel:
Mβa/2=N,Mβb/2=F-S,Θβ=Fh.
Θ a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:
Θ=Θ0+Ma2+b24=Ma2+b23=Mc23; c a téglalap átlója.
A megoldás:
β=(F/M)(3h/c2),N=F(3/2)(ah/c2),S=F[1-(3/2)(hb/c2)].
E mozgás megvalósulása esetén szükségképpen
β>0 (a láda balra billen),
|S|μN (a láda nem csúszik meg).
Az első feltétel mindig teljesül, a második pedig akkor, ha
|23c2ha-ba|μ.

 
2. ábra
 
3. ábra
(B, C) (2‐3. ábra) Ezt a két esetet együtt tárgyaljuk, és ahol eltérés van, ott azt a BC helyzetbe írt jelekkel különböztetjük meg. A vízszintes gyorsulásra most nincs kényszerfeltétel, ezért eggyel kevesebb mozgásegyenletünk van:
Mβa/2=N;
a forgás mozgásegyenlete a láda tömegközéppontjára nézve
M(c2/12)β=F(h-b/2)-Na/2-Sb/2;


a súrlódási erő csúszáskor:
S=±μN.
Az egyenletrendszer megoldása:
N=F(h-b2)c26a+a2±μb2,β=2NMa,S=±μN.
Ebben az esetben a következő feltételeknek kell teljesülniük:
 

β>0 (a láda balra billen),
F+SM<>βb2 (a láda jobbra, illetve balra csúszik).
A megoldásokat behelyettesítve egy egyenlőtlenségrendszerhez jutunk, amelynek megoldása a B esetben:
h>b2ésba-23c2ah>μ.
A C esetben teljesülniük kell az alábbi feltételeknek:
h>b2ésμ<23c2ah-bavagyh<b2és23c2ah-ba<μ.


 

4. ábra
 
D) (4. ábra). A mozgásegyenletek és a súrlódási erőre vonatkozó egyenlet:
-Mβa/2=N,M(c2/12)β=F(h-b/2)+Na/2+Sb/2,S=μN.
A megoldásuk:
N=-Fh-b2c26a+a2+μb2,β=-2NMa,S=μN.
Ekkor az alábbi feltételeknek kell teljesülniük:
 

β<0 (a láda jobbra billen),
F-SM>βb2 (a láda balra csúszik).
 


A megoldásokat behelyettesítve kapjuk, hogy akkor teljesül mindkét feltétel, ha h<b/2.
A különféle esetek megválaszolásához szükséges feltételeket az 5. ábrán tekintjük át.
 

5. ábra
 
Látható, hogy ha 23a2+b2b>b, azaz b<a2, akkor a B tartomány üres halmaz.
A h<b2, 23c2ah-ba<μ feltételekkel leírt tartományban ábránk szerint az A, C és D eset egyaránt lehetséges. A valóságban az F erő egy kicsit előbb fogja gyorsítani és forgatni a ládát, mint az N+S kényszererő, mert az utóbbihoz a test rugalmas deformációja is szükséges. A golyó becsapódásának kezdetén ezért jobbra forog a láda, a jobb alsó éle feszül a talajnak, ezért a D eset valósul meg a három lehetséges közül. Mivel az A-D eseteken kívül más nem lehetséges, azért az ábrát ismét figyelembe véve láthatjuk, hogy az A eset akkor és csak akkor valósul meg, ha
h>b2és|2c23ha-ba|μ.
A megadott méretű ládára e feltételek:
h>1 més|10 m/3h-2|μ.

 
 Vladár Károly