Feladat:	1831. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyuricza Béla ,  Vladár Károly
Füzet:	1983/november, 179 - 182. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Egyéb merev test síkmozgások, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/február: 1831. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Ha a golyó $t$ idő alatt fékeződik le teljesen, akkor a ládára átlagosan $F=mv/t$ nagyságú erővel hat, ahol $mv$ a golyó mozgásmennyisége. A nagyon kis $t$ esetét vizsgáljuk, vagyis azt, amikor $F$ olyan nagy, hogy a becsapódás ideje alatt a súlyerőt elhanyagolhatjuk.   A becsapódó golyó a ládát megbillentheti. A következő esetek lehetségesek:   $A)$ A láda balra billen, a bal alsó éle nem csúszik meg (1. ábra). $B)$ A láda balra billen, és a bal alsó éle jobbra csúszik (2. ábra). $C)$ A láda balra billen, és a bal alsó éle balra csúszik (3. ábra). $D)$ A láda jobbra billen, és a jobb alsó éle balra csúszik (4. ábra).   Jobbra billenve a láda jobbra nem csúszhat, és a láda éle helyben sem maradhat, mert ekkor a tömegközéppont is jobbra gyorsulna, ami ellenkezne a mozgásmennyiség megmaradásával. Annál az élnél, amely körül a láda billen, a ládára ható erőt felbontottuk a talajra merőleges $N$ nyomóerőre, és az $S$ súrlódási erőre. A feladat csak azt kérdezi, hogy mikor valósul meg az $A$ eset, de a pontos válaszhoz a másik hármat is meg kell vizsgálni, vegyük tehát sorra őket! A golyó $m$ tömegét el fogjuk hanyagolni a láda $M$ tömege mellett.     1. ábra     $A)$ (1. ábra) A láda tömegközéppontjának vízszintes és függőleges irányú gyorsulása akkor, ha az él nem csúszik meg: $a_x=\beta b/2$, $a_y=\beta a/2$, ahol $\beta$ a láda szöggyorsulása; a pozitív irányokat az 1. ábrán jelöltük. A három ismeretlenhez ‐ $N$, $S$, $\beta$ ‐ három mozgásegyenletet írhatunk fel: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle M\beta a/2}& {\displaystyle =N\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle M\beta b/2}& {\displaystyle =F-S\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \Theta \beta }& {\displaystyle =Fh\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $\Theta$ a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: $\Theta ={\Theta }_0+M\frac{a^2+b^2}{4}=M\frac{a^2+b^2}{3}=M\frac{c^2}{3}$; $c$ a téglalap átlója. A megoldás: $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta =\left(F/M\right)\left(3h/c^2\right)\mathrm{,}N=F\left(3/2\right)\left(ah/c^2\right)\mathrm{,}S=F\left[1-\left(3/2\right)\left(hb/c^2\right)\right]\mathrm{.}}\end{array}$ E mozgás megvalósulása esetén szükségképpen $\beta >0$ (a láda balra billen), $|S|\le \mu N$ (a láda nem csúszik meg). Az első feltétel mindig teljesül, a második pedig akkor, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\frac{2}{3}\frac{c^2}{ha}-\frac{b}{a}\right|\le \mu \mathrm{.}}\end{array}$   2. ábra   3. ábra ($B$, $C$) (2‐3. ábra) Ezt a két esetet együtt tárgyaljuk, és ahol eltérés van, ott azt a $\genfrac{}{}{0ex}{}{B}{C}$ helyzetbe írt jelekkel különböztetjük meg. A vízszintes gyorsulásra most nincs kényszerfeltétel, ezért eggyel kevesebb mozgásegyenletünk van: $\begin{array}{c}{\displaystyle M\beta a/2=N;}\end{array}$ a forgás mozgásegyenlete a láda tömegközéppontjára nézve ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle M\left(c^2/12\right)\beta =F\left(h-b/2\right)-Na/2-Sb/2;}\hfill \end{array}}$ a súrlódási erő csúszáskor: $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\pm \mu N\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenletrendszer megoldása: $\begin{array}{c}{\displaystyle N=\frac{F\left(h-\frac{b}{2}\right)}{\frac{c^2}{6a}+\frac{a}{2}\pm \mu \frac{b}{2}}\mathrm{,}\beta =\frac{2N}{Ma}\mathrm{,}S=\pm \mu N\mathrm{.}}\end{array}$ Ebben az esetben a következő feltételeknek kell teljesülniük:   $\beta >0$ (a láda balra billen), $\frac{F+S}{M}\genfrac{}{}{0ex}{}{<}{>}\beta \frac{b}{2}$ (a láda jobbra, illetve balra csúszik). A megoldásokat behelyettesítve egy egyenlőtlenségrendszerhez jutunk, amelynek megoldása a $B$ esetben: $\begin{array}{c}{\displaystyle h>\frac{b}{2}\text{és}\frac{b}{a}-\frac{2}{3}\frac{c^2}{ah}>\mu \mathrm{.}}\end{array}$ A C esetben teljesülniük kell az alábbi feltételeknek: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle h>\frac{b}{2}\text{és}\mu <\frac{2}{3}\frac{c^2}{ah}-\frac{b}{a}\text{vagy}h<\frac{b}{2}\text{és}\frac{2}{3}\frac{c^2}{ah}-\frac{b}{a}<\mu \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   4. ábra   $D)$ (4. ábra). A mozgásegyenletek és a súrlódási erőre vonatkozó egyenlet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle -M\beta a/2}& {\displaystyle =N\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle M\left(c^2/12\right)\beta }& {\displaystyle =F\left(h-b/2\right)+Na/2+Sb/\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle S}& {\displaystyle =\mu N\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A megoldásuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle N=-F\frac{h-\frac{b}{2}}{\frac{c^2}{6a}+\frac{a}{2}+\mu \frac{b}{2}}\mathrm{,}\beta =-\frac{2N}{Ma}\mathrm{,}S=\mu N\mathrm{.}}\end{array}$ Ekkor az alábbi feltételeknek kell teljesülniük:   $\beta <0$ (a láda jobbra billen), $\frac{F-S}{M}>\beta \frac{b}{2}$ (a láda balra csúszik).   A megoldásokat behelyettesítve kapjuk, hogy akkor teljesül mindkét feltétel, ha $h<b/2$. A különféle esetek megválaszolásához szükséges feltételeket az 5. ábrán tekintjük át.   5. ábra   Látható, hogy ha $\frac{2}{3}\frac{a^2+b^2}{b}>b$, azaz $b<a\sqrt[]{2}$, akkor a $B$ tartomány üres halmaz. A $h<\frac{b}{2}$, $\frac{2}{3}\frac{c^2}{ah}-\frac{b}{a}<\mu$ feltételekkel leírt tartományban ábránk szerint az $A$, $C$ és $D$ eset egyaránt lehetséges. A valóságban az $F$ erő egy kicsit előbb fogja gyorsítani és forgatni a ládát, mint az $N+S$ kényszererő, mert az utóbbihoz a test rugalmas deformációja is szükséges. A golyó becsapódásának kezdetén ezért jobbra forog a láda, a jobb alsó éle feszül a talajnak, ezért a $D$ eset valósul meg a három lehetséges közül. Mivel az $A-D$ eseteken kívül más nem lehetséges, azért az ábrát ismét figyelembe véve láthatjuk, hogy az $A$ eset akkor és csak akkor valósul meg, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle h>\frac{b}{2}\text{és}\left|\frac{2c^2}{3ha}-\frac{b}{a}\right|\le \mu \mathrm{.}}\end{array}$ A megadott méretű ládára e feltételek: $\begin{array}{c}{\displaystyle h>1\text{ m}\text{és}|10\text{ m}/3h-2|\le \mu \mathrm{.}}\end{array}$    Vladár Károly