Feladat: 1808. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csillag Péter 
Füzet: 1983/április, 186 - 187. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síktükör, Steiner-tétel, Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/november: 1808. fizika feladat

Két strucc beszélgetéséből lestük el az alábbi mondatokat:
A strucc: Képzeld el, a múltkor egy olyan függőleges helyzetű síktükörre bukkantam, ami épp az én magasságomra volt beállítva, azaz amikor belenéztem, nem láttam át a fejem fölött, és nem láttam a lábam előtt a talajt.
B strucc: Ez csak úgy lehetett, hogy a földtől egy bizonyos magasságban volt a tükör alja.
A strucc: Igen, de sajnos elfelejtettem megmérni, mennyi volt ez a távolság, és nem mértem meg a tükör magasságát sem. Egyszóval ott gyönyörködtem magamban a tükör előtt, amikor egy vadász fülön ragadott, és mint fizikai ingát a talpamnál fogva felkötött, és lengetni kezdett. Még a lengésidőt is megmértem, emlékszem, egészen pontosan 2,59 s volt. Miután elengedett, nem csoda, hogy olyan kis tojást tojtam, amelynek hossza a fejem búbjától csak a szememig érne, azaz 10 cm hosszút.
B strucc: De hisz akkor tudom, milyen magasan van a tükör, amibe belenéztél, és még a magassága is nyilvánvaló!
Hogyan jött rá a B strucc a tükör magasságára, földtől való távolságára, és mekkorák ezek a távolságok? (Aki véletlenül nem tudná, a strucc tehetetlenségi nyomatéka a súlypontjára vonatkoztatva 14ml2, ahol m a strucc tömege, l a magassága; a strucc súlypontja a magasság felénél van.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A struccnak a talpán átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka a Steiner-tétel szerint:

Θ=Θs+m(l/2)2=ml2/2.
A struccnak mint fizikai ingának a lengésideje:
T=2πΘmg(l/2)=2πlg,
ebből
l=(T2π)2g=166,7  cm.

A tükör m magasságát és a földtől mért t távolságát az ábrán látható szerkesztés segítségével kapjuk meg.
A tükör aljának magassága a strucc szeme és a talaj közti távolság felezőpontjának a magassága, a tükör tetejének magassága pedig a strucc szeme és a feje búbja közti távolság felezőpontjának a magassága. Ebből következik, hogy a tükör magassága
m=l/2=83,3  cm,
a talajtól mért távolsága
t=(l-10  cm)/2=78,3  cm.
Az eredményeket a lengésidő pontosságának megfelelően 3 jegyig adtuk meg.
Ha a tehetetlenségi nyomatékra közölt (1/4)ml2 összefüggés kevésbé pontos, akkor az eredmények utolsó jegyei természetesen értelmüket vesztik.
 

Megjegyzés. Nézzük meg, milyen alakú struccra lehetséges a Θ=(1/4)ml2 tehetetlenségi nyomaték! Először osszuk fel a strucc testét képzeletben elegendően sok, N db egyforma tömegű részre! A súlypontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:
Θs=i=1NmNri2=mNi=1Nri2,
ahol m a strucc tömege, ri az i-edik résznek a súlyponttól mért távolsága. Ha feltesszük, hogy a strucc tömegpontjai a súlypontjától l/2-nél kisebb távolságra vannak, akkor Θ(1/4)ml2. Az egyenlőség akkor teljesül, ha a strucc tömegének fele a feje tetején, a másik fele a talpán koncentrálódik.
 

Csillag Péter (Bp., Landler J. Szkp., III. o. t.)