Feladat: 1794. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árkossy Ottó 
Füzet: 1983/március, 135 - 136. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hangsebesség, Visszhang, Doppler-hatás (Doppler-effektus), Biológiával kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/szeptember: 1794. fizika feladat

Egy denevér az éjjeli vadászata során f1 frekvenciájú ultrahangimpulzusokat bocsát ki. Egyszer csak egy éjjeli lepkéről visszaverődő hangjelet vesz észre. A denevér üldözőbe veszi a menekülő lepkét, miközben állandó f2 frekvenciát észlel. El tudja-e kapni a denevér a lepkét, ha mindketten ugyanazon egyenes mentén, állandó sebességgel mozognak? Adatok: f1=80 kHz, f2=78 kHz. A denevér maximális sebessége 20 m/s, a hangsebesség 340 m/s.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mozogjon a denevér v1, a lepke v2 sebességgel. Feltehető, hogy v1<c és v2<c, ahol c a hang terjedési sebessége levegőben.
A denevér f1 frekvenciájú hangot bocsát ki, a lepke f' frekvenciájú hangot észlel és ezt veri vissza, amit a denevér f2 frekvenciának észlel. Teremtsünk kapcsolatot f1 és f2 között!
A Doppler hatás alapján ‐ ha v1 sebességgel mozog a hangforrás (denevér) és v2 vel a megfigyelő (lepke) ‐ a kibocsátott (f1) és észlelt (f') frekvencia között a következő kapcsolat áll fenn:

f'=f11-v2c1-v1c.(1)
A lepkéről történő visszaverődést úgy tekinthetjük, mintha egy v2 sebességgel mozgó hangforrás f' frekvenciájú hangot bocsátana ki. A hang terjedési iránya most ellentétes a sebességek irányával, így a denevér által észlelt hang frekvenciája:
f2=f'1+v1c1+v2c.(2)
Az (1), (2) egyenletek felhasználásával kifejezhetjük v2-t:
v2=cc(f1-f2)+v1(f1+f2)c(f1+f2)+v1(f1-f2).(3)

Ennek felhasználásával könnyen beláthatjuk, hogy v2>v1, tehát a denevér nem éri utol a lepkét. Ugyanis a
c2>v12,f1>f2
egyenlőtlenségekből következik, hogy
c[c(f1-f2)+v1(f1+f2)]>v1[c(f1+f2)+v1(f1-f2)].
Innen (3) figyelembevételével valóban adódik, hogy v2>v1.
 
 Árkossy Ottó (Esztergom, Dobó K. Gimn., IV. o. t.)
 


Megjegyzés. Sokan a lepkéhez rögzített koordináta-rendszerben próbálták megoldani a feladatot, és figyelmen kívül hagyták, hogy ekkor a Doppler hatás képletében a hangsebességet (c-v2)-nek, illetve (c+v2)-nek kell tekinteni.