Feladat: 1783. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörgő Tamás ,  Egyházi Zsolt ,  Erdélyi Róbert ,  Oszlányi Gábor ,  Sczigel Gábor ,  Seregdy Tamás ,  Szállási Zoltán 
Füzet: 1983/február, 89 - 91. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontszerű töltés térerőssége, Megosztás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/április: 1783. fizika feladat

Számítsuk ki az a) és a b) ábrán megadott esetekben a végtelen földelt fémlemezeken a pontszerű q töltés hatására kialakuló töltéseloszlást! (Lásd az 1748. feladat megoldását, KML. 1982. évi áprilisi számának 186. oldalán.)

 
1783. feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
a)
 
b)
Először az a) ábra szerinti elrendezésnek megfelelő töltéseloszlást számítjuk ki. A töltéssűrűség csak attól függ, hogy milyen távolságra vagyunk a töltéstől, vagy a töltésből a síkra bocsátott merőleges talppontjától. Jelöljük ez utóbbi ponttól való távolságot a síkban r-rel (1. ábra).
 

1. ábra
 
Az 1748. feladat megoldásából tudjuk, hogy a térerősséget a fémlemez felületén úgy számíthatjuk ki, hogy tükrözzük a q töltés helyét a fémlemezre és a tükörpontba egy -q töltést helyezünk. Az így kapott q és -q töltés együttes tere a fémlemez felett megegyezik azzal a térrel, amelyet az eredeti q töltés és a hatására elektromos megosztással a fém felületén megjelenő töltések hoznak létre.
Ha kiszámítjuk a térerősséget a lemez felületéhez közel, illetve a lemez felületén, mint az r távolság függvényét, ebből már kiszámíthatjuk a töltéssűrűséget is mint az r függvényét. A q töltés által létrehozott térerősség a P pontban E1=kq2R2 ahol k állandó, R pedig a P pont és a q töltés távolsága:R=r2+a2. A -q töltés által létrehozott térerősség a P pontban szintén E1 nagyságú, de iránya más,(l. az 1. ábrát). Az eredő térerősség a fémlemezre merőleges irányú, nagysága
E(r)=E12aR=2qka(r2+a2)3/2.
A térerősségből kiszámíthatjuk a felületegységre jutó töltésmennyiséget, azaz a töltéssűrűséget. Mivel Q töltésből 4πkQ erővonal indul ki, a töltéssűrűség
σ=E4πk.
Így a P pontban a töltéssűrűség
σ(r)=E(r)4πk=q2πa(r2+a2)3/2,
ami éppen a keresett töltéseloszlást jellemző függvény.
A b) esetben a feladat nem hengerszimmetrikus. Itt ‐ noha a megoldás hasonló ‐ a fémlemez felületén mindkét félsíkon két koordinátát kell bevezetnünk.
 

2. ábra
 
A tükörtöltéseket a 2. ábrán rajzoltuk be: két -q és egy +q töltésű tükörtöltést kell felvennünk. Legyen koordináta-rendszerünk olyan, hogy a z tengely essék egybe a két fémlemez metszésvonalával, az x tengely illeszkedjék az egyik fémlemezre, az y tengely pedig a másikra. Ekkor a négy töltés koordinátái a következők:
(q)A=(b,a,0)(-q)B=(-b,a,0)(q)C=(-b,-a,0)(-q)D=(b,-a,0).

A vizsgált P pont, amely az (x,z) síkban van, legyen
P=(x,0,z).
A megfelelő távolságok:
RAP=(b-x)2+a2+z2,RBP=(b+x)2+a2+z2,RCP=(b+x)2+a2+z2,RDP=(b-x)2+a2+z2.



A négy ponttöltés által létrehozott térerősségnek az (x,z) síkra merőleges összetevője a P pontban
EA=-kqRAP2aRAP;EB=kqRBP2aRBP;EC=kqRCP2aRCP;ED=-kqRDP2arDP.
Így a P pontban az eredő térerősség
E=EA+EB+EC+ED,
behelyettesítve
E(x,0,z)=2kga{[1(b+x)2+a2+z2]3/2-[1(b-x)2+a2+z2]3/2};
míg az (y, z) síkban hasonlóan kapjuk, hogy
E(0,y,z)=2kgb{[1(a+y)2+b2+z2]3/2-[1(a-y)2+b2+z2]3/2}.
A keresett töltéseloszlás pedig
σ(x,0,z)=qa2π{[1(b+x)2+a2+z2]3/2-[1(b-x)2+a2+z2]3/2};σ(0,y,z)=qb2π{[1(a+y)2+b2+z2]3/2-[1(a-y)2+b2+z2]3/2}.



 
 Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)
 dolgozata alapján