Feladat:	1783. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörgő Tamás ,  Egyházi Zsolt ,  Erdélyi Róbert ,  Oszlányi Gábor ,  Sczigel Gábor ,  Seregdy Tamás ,  Szállási Zoltán
Füzet:	1983/február, 89 - 91. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontszerű töltés térerőssége, Megosztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: 1783. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   a)   b) Először az a) ábra szerinti elrendezésnek megfelelő töltéseloszlást számítjuk ki. A töltéssűrűség csak attól függ, hogy milyen távolságra vagyunk a töltéstől, vagy a töltésből a síkra bocsátott merőleges talppontjától. Jelöljük ez utóbbi ponttól való távolságot a síkban $r$-rel (1. ábra).   1. ábra   Az 1748. feladat megoldásából tudjuk, hogy a térerősséget a fémlemez felületén úgy számíthatjuk ki, hogy tükrözzük a $q$ töltés helyét a fémlemezre és a tükörpontba egy $-q$ töltést helyezünk. Az így kapott $q$ és $-q$ töltés együttes tere a fémlemez felett megegyezik azzal a térrel, amelyet az eredeti $q$ töltés és a hatására elektromos megosztással a fém felületén megjelenő töltések hoznak létre. Ha kiszámítjuk a térerősséget a lemez felületéhez közel, illetve a lemez felületén, mint az $r$ távolság függvényét, ebből már kiszámíthatjuk a töltéssűrűséget is mint az $r$ függvényét. A $q$ töltés által létrehozott térerősség a $P$ pontban $E_1=k\frac{q^2}{R^2}$ ahol $k$ állandó, $R$ pedig a $P$ pont és a $q$ töltés távolsága:$R=\sqrt[]{r^2+a^2}$. A $-q$ töltés által létrehozott térerősség a $P$ pontban szintén $E_1$ nagyságú, de iránya más,(l. az 1. ábrát). Az eredő térerősség a fémlemezre merőleges irányú, nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(r\right)=E_1\frac{2a}{R}=2qk\cdot \frac{a}{{\left(r^2+a^2\right)}^{3/2}}\mathrm{.}}\end{array}$ A térerősségből kiszámíthatjuk a felületegységre jutó töltésmennyiséget, azaz a töltéssűrűséget. Mivel $Q$ töltésből $4\pi kQ$ erővonal indul ki, a töltéssűrűség $\begin{array}{c}{\displaystyle \sigma =\frac{E}{4\pi k}\mathrm{.}}\end{array}$ Így a P pontban a töltéssűrűség $\begin{array}{c}{\displaystyle \sigma \left(r\right)=\frac{E\left(r\right)}{4\pi k}=\frac{q}{2\pi }\frac{a}{{\left(r^2+a^2\right)}^{3/2}}\mathrm{,}}\end{array}$ ami éppen a keresett töltéseloszlást jellemző függvény. A b) esetben a feladat nem hengerszimmetrikus. Itt ‐ noha a megoldás hasonló ‐ a fémlemez felületén mindkét félsíkon két koordinátát kell bevezetnünk.   2. ábra   A tükörtöltéseket a 2. ábrán rajzoltuk be: két $-q$ és egy $+q$ töltésű tükörtöltést kell felvennünk. Legyen koordináta-rendszerünk olyan, hogy a $z$ tengely essék egybe a két fémlemez metszésvonalával, az $x$ tengely illeszkedjék az egyik fémlemezre, az $y$ tengely pedig a másikra. Ekkor a négy töltés koordinátái a következők: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(q\right)}& {\displaystyle A=\left(b\mathrm{,}a\mathrm{,}0\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(-q\right)}& {\displaystyle B=\left(-b\mathrm{,}a\mathrm{,}0\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(q\right)}& {\displaystyle C=\left(-b\mathrm{,}-a\mathrm{,}0\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(-q\right)}& {\displaystyle D=\left(b\mathrm{,}-a\mathrm{,}0\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A vizsgált $P$ pont, amely az $\left(x\mathrm{,}z\right)$ síkban van, legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\left(x\mathrm{,0,}z\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A megfelelő távolságok: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle R_{AP}=\sqrt[]{{\left(b-x\right)}^2+a^2+z^2}\mathrm{,}{R}_{BP}=\sqrt[]{{\left(b+x\right)}^2+a^2+z^2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle R_{CP}=\sqrt[]{{\left(b+x\right)}^2+a^2+z^2}\mathrm{,}{R}_{DP}=\sqrt[]{{\left(b-x\right)}^2+a^2+z^2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A négy ponttöltés által létrehozott térerősségnek az $\left(x\mathrm{,}z\right)$ síkra merőleges összetevője a $P$ pontban ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle E_A}& {\displaystyle =-k\frac{q}{R_{AP}^2}\cdot \frac{a}{R_{AP}};}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle E_B=k\frac{q}{R_{BP}^2}\cdot \frac{a}{R_{BP}};}\\ \hfill {\displaystyle E_C}& {\displaystyle =k\frac{q}{R_{CP}^2}\cdot \frac{a}{R_{CP}};}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle E_D=-k\frac{q}{R_{DP}^2}\cdot \frac{a}{r_{DP}}\mathrm{.}}\end{array}}$ Így a $P$ pontban az eredő térerősség $\begin{array}{c}{\displaystyle E=E_A+E_B+E_C+E_D\mathrm{,}}\end{array}$ behelyettesítve $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(x\mathrm{,}\mathrm{0,}z\right)=2kga\cdot \left\{{\left[\frac{1}{{\left(b+x\right)}^2+a^2+z^2}\right]}^{3/2}-{\left[\frac{1}{{\left(b-x\right)}^2+a^2+z^2}\right]}^{3/2}\right\};}\end{array}$ míg az (y, z) síkban hasonlóan kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(\mathrm{0,}y\mathrm{,}z\right)=2kgb\left\{{\left[\frac{1}{{\left(a+y\right)}^2+b^2+z^2}\right]}^{3/2}-{\left[\frac{1}{{\left(a-y\right)}^2+b^2+z^2}\right]}^{3/2}\right\}\mathrm{.}}\end{array}$ A keresett töltéseloszlás pedig ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sigma \left(x\mathrm{,}\mathrm{0,}z\right)=\frac{qa}{2\pi }\left\{{\left[\frac{1}{{\left(b+x\right)}^2+a^2+z^2}\right]}^{3/2}-{\left[\frac{1}{{\left(b-x\right)}^2+a^2+z^2}\right]}^{3/2}\right\};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sigma \left(\mathrm{0,}y\mathrm{,}z\right)=\frac{qb}{2\pi }\left\{{\left[\frac{1}{{\left(a+y\right)}^2+b^2+z^2}\right]}^{3/2}-{\left[\frac{1}{{\left(a-y\right)}^2+b^2+z^2}\right]}^{3/2}\right\}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$    Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)  dolgozata alapján