Feladat: 1715. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ábrahám Péter ,  Bakonyi Gábor ,  Csere Kálmán ,  Glück Ferenc ,  Horváth Gábor ,  Horváth István ,  Kaptás Dénes ,  Kuna János ,  Mocsáry Géza ,  Oszlányi Gábor ,  Pöltl János Tamás ,  Sárközi Imre ,  Szállási Zoltán ,  Szalontai Imre ,  Takács Gábor ,  Trajber Csaba ,  Várhelyi Tamás 
Füzet: 1981/december, 232 - 234. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nyomóerő, kötélerő, Egyéb kényszermozgás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/május: 1715. fizika feladat

Két, egyenként m tömegű kiskocsit vékony, L hosszúságú, súlytalan merev rúddal csuklósan összekötünk és az egyiket a függőleges falra, a másikat a vízszintes talajra helyeztük az ábra szerint. Az alsó kocsi elhanyagolható kezdősebességgel kigurul a felső alól. Milyen messze lesz a faltól az alsó kocsi, amikor a felső elválik a faltól? (A súrlódás mindenütt elhanyagolható.) Mekkora az egyes testek sebessége az elválás pillanatában?
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.


I. megoldás. A mozgás során a felső kiskocsi egyre kisebb erővel nyomja a falat, majd az elválás pillanatában N nullává válik (l. az ábrát).

Mivel a kiskocsi egészen eddig függőlegesen mozog, rá más vízszintes erő nem hathat, így meg kell, hogy szűnjék a rúdban ható erő is. Ennek megfelelően az elválás pillanatában a felső kiskocsi súlyereje hatására lefelé g gyorsulással mozog, az alsó kiskocsi pedig nem gyorsul, hiszen csak a rúderő vízszintes komponense gyorsíthatná vízszintesen. A kiskocsik sebessége és gyorsulása közötti összefüggéseket az
x2+y2=L2(1)
kényszerfeltételből határozhatjuk meg, ahol x, ill. y a kiskocsiknak a fal és a talaj metszéspontjától mért távolsága. Deriváljuk kétszer az idő szerint az (1) összefüggést, felhasználva a szorzat differenciálási szabályát. (Az idő szerinti deriváltat szokás szerint ponttal jelöljük.)
2xx˙+2yy˙=0,
xx˙+yy˙=0,(2)
x˙2+xx¨+y˙2+yy¨=0.(3)
A bevezetőnek megfelelően a két kiskocsi gyorsulása az elválás pillanatában
x¨=0,y¨=-g.(4)
x˙2+y˙2 a két kocsi sebességnégyzetének összege, az energiamegmaradás törvényéből határozható meg:
(1/2)mx˙2+(1/2)my˙2=mg(L-y)=mgL(1-sinφ),
azaz
x˙2+y˙2=2gL(1-sinφ).(5)
(4)-et és (5)-öt (3)-ba helyettesítve, valamint y=Lsinφ-t beírva
2gL(1-sinφ)-gLsinφ=0,
ahonnan
sinφ=2/3φ=4148'.(6)
Az alsó kiskocsinak a faltól mért távolsága az elválás pillanatában
x=Lcosφ=L5/3.(6a)
Felhasználva, hogy (2) alapján a sebességek között az
x˙=-y˙(y/x)=-y˙tgφ(7)
összefüggés áll fenn, a kiskocsik sebessége az elválás pillanatában (5)-ből meghatározható. Az alsó kiskocsi távolodik a faltól
x˙=(8/27)gL(8)
sebességgel, a felső kiskocsi lefelé mozog
-y=(10/27)gL
sebességgel.
 

 Takács László
 

II. megoldás. Az I. megoldás bevezetőjének megfelelően a felső kiskocsi elválásának pillanatában az alsó kiskocsi gyorsulása nulla, sebessége tehát ebben a helyzetben nem változik. Fejezzük ki az alsó kiskocsi sebességét a hely függvényében! A rúd pillanatnyi forgástengelyét a kiskocsik sebességére állított merőlegesek metszéspontja (P) adja. Az ábráról látható, hogy
vy/x=vx/y=ω(9)
a rúd szögsebessége. (vx jobbra, vy lefelé pozitív. Ugyanezt az összefüggést adta a (7) egyenlet is.) Az energiamegmaradás törvényéből
(1/2)mvx2+(1/2)mvy2=mgL-mgy,
(9)-et behelyettesítve és  x2=L2-y2-et írva
vx2=(2g/L2)(L-y)y2.(10)
Mivel vx nem változik a felső kiskocsi elválásának pillanatában, vx2 y szerinti differenciálhányadosa nulla:
(2g/L2)(2yL-3y2)=0,
ahonnan a fizikailag érdekes gyök
y=2L/3.
Innen x=L2-y2=L5/3, a sebességek. (9)‐(10)-ből számíthatók.
 

 Sárközi Imre (Tata, Eötvös J. Gimn., IV. o. t.)
 dolgozata alapján