Feladat:	1715. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrahám Péter ,  Bakonyi Gábor ,  Csere Kálmán ,  Glück Ferenc ,  Horváth Gábor ,  Horváth István ,  Kaptás Dénes ,  Kuna János ,  Mocsáry Géza ,  Oszlányi Gábor ,  Pöltl János Tamás ,  Sárközi Imre ,  Szállási Zoltán ,  Szalontai Imre ,  Takács Gábor ,  Trajber Csaba ,  Várhelyi Tamás
Füzet:	1981/december, 232 - 234. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Egyéb kényszermozgás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/május: 1715. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A mozgás során a felső kiskocsi egyre kisebb erővel nyomja a falat, majd az elválás pillanatában $N$ nullává válik (l. az ábrát). Mivel a kiskocsi egészen eddig függőlegesen mozog, rá más vízszintes erő nem hathat, így meg kell, hogy szűnjék a rúdban ható erő is. Ennek megfelelően az elválás pillanatában a felső kiskocsi súlyereje hatására lefelé $g$ gyorsulással mozog, az alsó kiskocsi pedig nem gyorsul, hiszen csak a rúderő vízszintes komponense gyorsíthatná vízszintesen. A kiskocsik sebessége és gyorsulása közötti összefüggéseket az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2=L^2}\end{array}$ (1) kényszerfeltételből határozhatjuk meg, ahol $x$, ill. $y$ a kiskocsiknak a fal és a talaj metszéspontjától mért távolsága. Deriváljuk kétszer az idő szerint az (1) összefüggést, felhasználva a szorzat differenciálási szabályát. (Az idő szerinti deriváltat szokás szerint ponttal jelöljük.) $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x\dot{x}+2y\dot{y}=\mathrm{0,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x\dot{x}+y\dot{y}=\mathrm{0,}}\end{array}$ (2) $\begin{array}{c}{\displaystyle {\dot{x}}^2+x\mathrm{<mover\; accent="true">x<mo>¨</mo></mover>}+{\dot{y}}^2+y\mathrm{<mover\; accent="true">y<mo>¨</mo></mover>}=0.}\end{array}$ (3) A bevezetőnek megfelelően a két kiskocsi gyorsulása az elválás pillanatában $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{<mover\; accent="true">x<mo>¨</mo></mover>}=\mathrm{0,}\mathrm{<mover\; accent="true">y<mo>¨</mo></mover>}=-g\mathrm{.}}\end{array}$ (4) ${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2$ a két kocsi sebességnégyzetének összege, az energiamegmaradás törvényéből határozható meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1/2\right)m{\dot{x}}^2+\left(1/2\right)m{\dot{y}}^2=mg\left(L-y\right)=mgL\left(1-\text{sin}\phi \right)\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2=2gL\left(1-\text{sin}\phi \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (5) (4)-et és (5)-öt (3)-ba helyettesítve, valamint $y=L\text{sin}\phi$-t beírva $\begin{array}{c}{\displaystyle 2gL\left(1-\text{sin}\phi \right)-gL\text{sin}\phi =\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\phi =2/3\phi ={41}^{\circ }48\text{'}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Az alsó kiskocsinak a faltól mért távolsága az elválás pillanatában $\begin{array}{c}{\displaystyle x=L\text{cos}\phi =L\cdot \sqrt[]{5}/3.}\end{array}$ (6a) Felhasználva, hogy (2) alapján a sebességek között az $\begin{array}{c}{\displaystyle \dot{x}=-\dot{y}\left(y/x\right)=-\dot{y}\text{tg}\phi }\end{array}$ (7) összefüggés áll fenn, a kiskocsik sebessége az elválás pillanatában (5)-ből meghatározható. Az alsó kiskocsi távolodik a faltól $\begin{array}{c}{\displaystyle \dot{x}=\sqrt[]{\left(8/27\right)gL}}\end{array}$ (8) sebességgel, a felső kiskocsi lefelé mozog $\begin{array}{c}{\displaystyle -y=\sqrt[]{\left(10/27\right)gL}}\end{array}$ sebességgel.    Takács László   II. megoldás. Az I. megoldás bevezetőjének megfelelően a felső kiskocsi elválásának pillanatában az alsó kiskocsi gyorsulása nulla, sebessége tehát ebben a helyzetben nem változik. Fejezzük ki az alsó kiskocsi sebességét a hely függvényében! A rúd pillanatnyi forgástengelyét a kiskocsik sebességére állított merőlegesek metszéspontja $\left(P\right)$ adja. Az ábráról látható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle v_y/x=v_x/y=\omega }\end{array}$ (9) a rúd szögsebessége. ($v_x$ jobbra, $v_y$ lefelé pozitív. Ugyanezt az összefüggést adta a (7) egyenlet is.) Az energiamegmaradás törvényéből $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1/2\right)m{v}_x^2+\left(1/2\right)m{v}_y^2=mgL-mgy\mathrm{,}}\end{array}$ (9)-et behelyettesítve és  $x^2=L^2-y^2$-et írva $\begin{array}{c}{\displaystyle v_x^2=\left(2g/L^2\right)\left(L-y\right)y^2\mathrm{.}}\end{array}$ (10) Mivel $v_x$ nem változik a felső kiskocsi elválásának pillanatában, $v_x^2$ $y$ szerinti differenciálhányadosa nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(2g/L^2\right)\left(2yL-3y^2\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan a fizikailag érdekes gyök $\begin{array}{c}{\displaystyle y=2L/3.}\end{array}$ Innen $x=\sqrt[]{L^2-y^2}=L\cdot \sqrt[]{5}/\mathrm{3,}$ a sebességek. (9)‐(10)-ből számíthatók.    Sárközi Imre (Tata, Eötvös J. Gimn., IV. o. t.)  dolgozata alapján