Feladat: 1695. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antal Tamás ,  Gulyás Gyula ,  Hatt János ,  Horváth Zoltán ,  Károlyi Gyula ,  Kiss János ,  Kovács Attila ,  Lakatos Róbert ,  Lóczi Géza ,  Mogyorósi András ,  Oszlányi Gábor ,  Pintér Gábor ,  Sáfár Péter ,  Szabó Endre ,  Tranta Beáta ,  Varga Kálmán 
Füzet: 1981/november, 168 - 169. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tökéletesen rugalmas ütközések, Energiamegmaradás tétele, Impulzusmegmaradás törvénye, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/február: 1695. fizika feladat

Egy M tömegű részecske teljesen rugalmasan nekiütközik egy nyugvó m tömegű részecskének. Milyen maximális szöggel térülhet el az első részecske az ütközés után, ha M>m?
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Két részecske rugalmas ütközését célszerű tömegközépponti rendszerben vizsgálni, mivel ebben a koordinátarendszerben a részecskék sebességének abszolút értéke változatlan marad, csak irányuk változik meg. Legyen az M tömegű részecske ütközés előtti sebessége a laboratóriumban rögzített koordinátarendszerben v0. Ekkor a tömegközéppont sebessége vTK=v0M/(M+m). A tömegközépponti rendszerben az M tömeg ütközés előtti sebessége v0-vTK, ütközés utáni sebessége |v0-vTK|e, ahol e egy egységvektor, amelynek lehetséges irányait az impulzusmegmaradás határozza meg. Visszatranszformálva a laboratóriumi koordinátarendszerbe, az ütközés utáni sebesség:

v=vTK+|v0-vTK|e=v0MM+m+v0mM+me.(1)
Ábrázoljuk geometriailag az (1) egyenlettel adott vektor összeadást (1. ábra).
 

1. ábra
 

A v vektor kezdőpontja A, végpontja egy O középpontú, r=v0m/(M+m) sugarú gömbön van, AO¯=v0M/(M+m). Mivel M>m, A a gömbön kívülre esik. M sebességének az iránya akkor változik a legtöbbet, ha v egyenese érinti a gömböt, ekkor
sinα=r/AO¯=m/M.(2)
Beláthatjuk, hogy ez az eltérülési szög valóban megvalósítható
 
 Sáfár Péter (Debrecen, Tóth Á. Gimn. III. o. t.)
 

II. megoldás. Tegyük fel, hogy az ütközés után M sebessége α. m sebessége β szöget zár be M v0 kezdősebességével (2. ábra).
 

2. ábra
 

Felírhatjuk az impulzus és az energia megmaradását kifejező egyenleteket:
MvMsinα=mvmsinβ(3)Mv0=MvMcosα+mvmcosβ(4)(1/2)Mv02=(1/2)MvM2+(1/2)mvm2.(5)



Az egyenletrendszerből kifejezhetjük α-t β függvényében:
tgα=sin2β(M/m)-cos2β.(6)
Deriválással megkaphatjuk azt a β szöget, amelynél tgα maximális, erre cos2β=(m/M) adódik. (6)-ba visszahelyettesítve a részecske maximális eltérülési szögére adódik:
tgα=mM2-m2,azaz  sinα=m/M.(7)

 

 Lakatos Róbert (Kalocsa, I. István Gimn. III. o. t.)