Feladat: 1641. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bedey György ,  Bethlenfalvy Gábor ,  Boszágh Péter ,  Guba Kornél ,  Ivánfi Ádám ,  Károlyi Gyula ,  Kuna János ,  Lóczy Géza ,  Molnár Tibor ,  Oszlányi Gábor ,  Sáfár Péter ,  Seregdy Tamás ,  Szállási Zoltán 
Füzet: 1981/január, 35 - 36. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/április: 1641. fizika feladat

α hajlásszögű lejtőre olyan M tömegű hasábot helyezünk, amelynek felső lapja vízszintes. Erre a vízszintes lapra egy m tömegű testet helyezünk. A súrlódási együttható a csúszó felületek között μ. Számítsuk ki a testek gyorsulását tetszőleges μ, m és M értékek esetén!
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Háromféle esetet különböztethetünk meg:
1.Mindkét test (a kis lejtő és a hasáb) nyugalomban van;
2.a két test azonos gyorsulással mozog, relatív helyzetük nem változik:
3.a két test gyorsulása különböző.

Az első két esetben a kis lejtő és a rajta levő hasáb egy testnek tekinthető. Vizsgáljuk meg egy α hajlásszögű lejtőre helyezett m0 tömegű test mozgását μ súrlódási együttható esetén.
 

1. ábra
 

A mozgásegyenlet az 1. ábra alapján:
m0a=m0gsinα-μm0gcosα,
így a gyorsulás
a=g(sinα-μcosα),

A mozgás feltétele (a0):μtgα.
Tehát a μ>tgα esetben az 1. eset valósul meg, azaz mozgás nem indul meg.
A 2. esetben a m és M tömegű testekből álló rendszer gyorsulása:
a=g(sinα-μcosα).
Vizsgáljuk meg, milyen μ értéknél várható a 2. eset. A m tömegű test akkor nem csúszik a M tömegű testen, ha
S1<μN2.(1)
A gyorsulás vízszintes komponense:
a'=g(sinα-μcosα)cosα.
Ezt az S1 erő hozza létre az m tömegű testen. A gyorsulás függőleges komponense:
a''=g(sinα-μcosα)sinα.
Ez a komponens az mg=N2 hatásaként jön létre. Ezek alapján az (1) egyenlőtlenség:
μ[mg-mg(sinα-μcosα)sinα]>mg(sinα-μcosα)]cosα,
azaz
μ2cosαsinα+2μcos2α-cosαsinα>0.
Megoldva a idetartozó másodfokú egyenletet, kapjuk, hogy a kívánt egyenlőtlenség a következő (fizikailag reális) esetben teljesül:
μ>1-cosαsinα.

Tehát a 2. eset akkor valósul meg, ha
1-cosαsinα<μtgα.
 

2. ábra
 

A 3. eset feltétele
μ1-cosαsinα
A mozgásegyenletek a 2. ábra alapján:
mg-N2=ma2cosα+ma1sinα,μN2=ma1cosα-ma2sinα,MA=(Mg+N2)sinα-μN2cosα-S2,Mgcosα+N2cosα+μN2sinα=N1,S2=μN1.


Megoldva az egyenletrendszert:
A=gM(sinα-μcosα)-m(2μcosα+μ2sinα-sinα)M-msinα(2μcosα+μ2sinα-sinα)
Az m tömegű test gyorsulása:
a=a12+a22.
Mivel m és M mindig érintkezik, a függőleges komponens a1=Asinα. A vízszintes komponens S1/m, ahol S1 a mozgásegyenlet alapján μm(g-Asinα). Tehát
a=A2sin2α+(g-Asinα)2μ2

 

 Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)
 dolgozata alapján