Feladat:	1641. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bedey György ,  Bethlenfalvy Gábor ,  Boszágh Péter ,  Guba Kornél ,  Ivánfi Ádám ,  Károlyi Gyula ,  Kuna János ,  Lóczy Géza ,  Molnár Tibor ,  Oszlányi Gábor ,  Sáfár Péter ,  Seregdy Tamás ,  Szállási Zoltán
Füzet:	1981/január, 35 - 36. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/április: 1641. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Háromféle esetet különböztethetünk meg: 1. Mindkét test (a kis lejtő és a hasáb) nyugalomban van; 2. a két test azonos gyorsulással mozog, relatív helyzetük nem változik: 3. a két test gyorsulása különböző. Az első két esetben a kis lejtő és a rajta levő hasáb egy testnek tekinthető. Vizsgáljuk meg egy $\alpha$ hajlásszögű lejtőre helyezett $m_0$ tömegű test mozgását $\mu$ súrlódási együttható esetén.   1. ábra   A mozgásegyenlet az 1. ábra alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_{0}a=m_{0}g\text{sin}\alpha -\mu m_{0}g\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ így a gyorsulás $\begin{array}{c}{\displaystyle a=g\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{,}}\end{array}$ A mozgás feltétele $\left(a\ge 0\right):\mu \le \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \mathrm{.}$ Tehát a $\mu >\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha$ esetben az $1$. eset valósul meg, azaz mozgás nem indul meg. A 2. esetben a $m$ és $M$ tömegű testekből álló rendszer gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=g\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ Vizsgáljuk meg, milyen $\mu$ értéknél várható a 2. eset. A $m$ tömegű test akkor nem csúszik a $M$ tömegű testen, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle S_1<\mu N_2\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A gyorsulás vízszintes komponense: $\begin{array}{c}{\displaystyle a\text{'}=g\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)\cdot \text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Ezt az $S_1$ erő hozza létre az $m$ tömegű testen. A gyorsulás függőleges komponense: $\begin{array}{c}{\displaystyle a\text{'}\text{'}=g\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Ez a komponens az $mg=N_2$ hatásaként jön létre. Ezek alapján az (1) egyenlőtlenség: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \left[mg-mg\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)\text{sin}\alpha \right]>mg\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)]\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\mu }^2\text{cos}\alpha \text{sin}\alpha +2\mu \text{cos}{}^2\alpha -\text{cos}\alpha \text{sin}\alpha >0.}\end{array}$ Megoldva a idetartozó másodfokú egyenletet, kapjuk, hogy a kívánt egyenlőtlenség a következő (fizikailag reális) esetben teljesül: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu >\frac{1-\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a 2. eset akkor valósul meg, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }<\mu \le \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$   2. ábra   A 3. eset feltétele $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \le \frac{1-\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }}\end{array}$ A mozgásegyenletek a 2. ábra alapján: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle mg-N_2=m{a}_2\text{cos}\alpha +m{a}_1\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mu N_2=m{a}_1\text{cos}\alpha -m{a}_2\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle MA=\left(Mg+N_2\right)\text{sin}\alpha -\mu N_2\text{cos}\alpha -S_2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle Mg\text{cos}\alpha +N_2\text{cos}\alpha +\mu N_2\text{sin}\alpha =N_1\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle S_2=\mu N_1\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Megoldva az egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=g\frac{M\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)-m\left(2\mu \text{cos}\alpha +{\mu }^2\text{sin}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}{M-m\text{sin}\alpha \left(2\mu \text{cos}\alpha +{\mu }^2\text{sin}\alpha -\text{sin}\alpha \right)}}\end{array}$ Az $m$ tömegű test gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\sqrt[]{a_1^2+a_2^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $m$ és $M$ mindig érintkezik, a függőleges komponens $a_1=A\text{sin}\alpha$. A vízszintes komponens $S_1/m$, ahol $S_1$ a mozgásegyenlet alapján $\mu m\left(g-A\text{sin}\alpha \right)$. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\sqrt[]{A^2\text{sin}{}^2\alpha +{\left(g-A\text{sin}\alpha \right)}^2{\mu }^2}}\end{array}$    Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)  dolgozata alapján