Feladat: 1287. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Lájer Konrád ,  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 1976/január, 38 - 40. oldal  PDF file
Témakör(ök): Centrifugális erő, Newton-féle gravitációs erő, Tömegközéppont helye, Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/április: 1287. fizika feladat

Egy 20 m átmérőjű henger alakú űrlaboratóriumban a gravitációt úgy kívánják mesterségesen pótolni, hogy tengelye körül állandó szögsebességgel forgatják. Milyen szögsebességgel érhető el a padlón (a henger palástján) a földi g érték? Mennyi ekkor a padlóra merőleges h=2 m hosszú, m=10 kg tömegű rúd súlya? Hol van a rúd súlypontja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger forgatásakor a súlyerőt a testre ható centrifugális erő helyettesíti. (A hengerrel együttforgó koordináta-rendszerből írjuk le a helyzetet.) Az ebből származó gyorsulás a tengelytől való távolság függvényében a=rω2. A paláston

Rω2=g,
tehát
ω=g/R=0,99l/s1l/s.
A rúd súlyának a kiszámításához osszuk fel a rudat olyan kis Δr hosszúságú darabokra, hogy azok hosszán belül a "nehézségi'' gyorsulás változása már elhanyagolható legyen! Ekkor a test súlya úgy írható fel, hogy
G=limΔr0Σa(ri)Δm=limΔr0Σ(R-h+ri)ω2ϱΔrA==0h(R-h+r)ω2Aϱdr=mω2R(1-h/2R)=9kp,


(ahol A a keresztmetszet, ϱ a sűrűség).
 

 

Egy test súlypontján a testre ható súlyerő támadáspontját értjük. Más szóval, ha a G erő itt támad, akkor a forgatónyomatéka egyenlő a rúd egyes részeire ható erők forgatónyomatékainak az összegével (l. a megjegyzést). A koordináta-rendszer kezdőpontjának a rúdnak a tengelyhez közelebbi végét véve nyerjük:
Grs=limΔr0Σ(R-h+ri)riω2ϱAΔr==0h(R-h+r)rω2Aϱdr=Aϱω2[(R-h)(h2/2)+h3/3],


innen
rs=h2(1-h/3R)(1-h/2R)=28/27m1,037m.
Tehát a rúd súlypontja a henger palástjától, azaz a "talajtól'' 0,963 méterre van.
 

 Lájer Konrád (Tapolca, Batsányi J. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Számos megoldó rosszul értelmezte a súlypont fogalmát. A legáltalánosabb hiba az volt, hogy a súlypontot és a tömegközéppontot (a továbbiakban sp ill. tkp) azonosnak vették, illetve a két fogalmat összekeverték, és a tkp-ra vonatkozó tételeket sem alkalmazták helyesen.
 

A tkp definíció szerint az a pont, amelynek a helyvektora rtkp=ΣmirtΣmi. Erről tudjuk, hogy úgy mozog, mintha a rendszer egész tömege ebbe a pontba lenne sűrítve, és a rendszerre ható külső erők ΣFk eredője erre a pontra hatna. Ezt például felhasználhatjuk a G meghatározásához: a homogén rúd tkp-ja a felében van, ez a pont a kényszerek miatt egy (R-(h/2)) sugarú körpályán mozog, tehát G=ΣFk=(R-(h/2))ω2m. De hibás az az okoskodás, hogy az m tömegű (R-(h/2)) helyen levő tömegpontra (R-(h/2))ω2m erő hat, tehát a súly (R-(h/2))ω2m. Példánkban ugyanazt az eredményt kapjuk, de ez csak a gyorsulás lineáris helyfüggésének köszönhető. Ha azonban a nehézségi gyorsulás helyfüggése más, mint pl. gravitációs erőtérben nagy távolságok esetén, az említett gondolatmenet rossz eredményre vezet. A helyes okoskodás a következő: g(r)=γMF/r2, így a Föld középpontja felé mutató rúd súlya
γMFAϱRR+h(1/r2)dr=mMFγR(R+h)MFmγ[R+(h/2)]2.
Itt jól látszik, hogy a rendszerre ható külső erők kiszámítását és a tömegek tkp-ba való sűrítését nem szabad fölcserélni.
A sp szabatos definiálása helyfüggő erőtérben, amilyen példánkban is szerepel, nehéz. Ha ugyanis úgy definiáljuk, hogy a súlyvonalak metszéspontja, akkor esetleg nem is kapunk egy pontot: a test forgatásával az erők nagysága is megváltozhat, és így a súlyvonalak több metszéspontot is adhatnak. A legkézenfekvőbb meghatarozás az, amit a feladat megoldásában adtunk, de ez önmagában még nem teljes: az eredő erő a hatásvonalában eltolható, ettől a forgatónyomatéka nem változik, tehát a hatásvonal minden pontja vehető a súlyerő támadáspontjának. Belátható, hogy a testet kicsi (!) szöggel elforgatva a súlyerő új és régi hatásvonalának a metszéspontja első közelítésben a szögtől független. Ezt a pontot nevezhetjük az adott helyzetben a test sp-jának. Ez a meghatározás hasonlít a homogén térben célszerű meghatározáshoz, de itt lényeges, hogy a súlyvonalak szöge kicsiny. Példánkban a rúd függőleges helyzetében a súlyerő hatásvonala a rúd tengelye. A rudat kicsi a szöggel elforgatva, a rúd egyes pontjainak a tengelytől való távolsága csak α-ban másodrendben változik, így az erők nagyságának a változása elhanyagolható. Az új helyzetben felírható forgatónyomaték-egyenletből a szögfüggvény kiesik (l. az ábrát), így lapjuk a megoldásban felírt egyenletet.
Sok megoldó úgy okoskodott, hogy a sp-on átmenő síkok a testet azonos súlyú részekre osztják. Ez még homogén erőtérben is csak speciális esetekben igaz: gondoljunk két különböző tömegű test közös sp-jára: az valahol a két test között a tengelyen van, és a sp két oldalán a testek súlya különböző.
 

Woynasrovich Ferenc