Kezdőlap


Feladat:	1287. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lájer Konrád , Woynarovich Ferenc
Füzet:	1976/január, 38 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Centrifugális erő, Newton-féle gravitációs erő, Tömegközéppont helye, Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: 1287. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger forgatásakor a súlyerőt a testre ható centrifugális erő helyettesíti. (A hengerrel együttforgó koordináta-rendszerből írjuk le a helyzetet.) Az ebből származó gyorsulás a tengelytől való távolság függvényében $a = r \cdot ω^{2}$ . A paláston

\begin{matrix} R ω^{2} = g, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{g / R} = 0, 99 l/s \sim 1 l/s . \end{matrix}

A rúd súlyának a kiszámításához osszuk fel a rudat olyan kis

Δ r

hosszúságú darabokra, hogy azok hosszán belül a "nehézségi'' gyorsulás változása már elhanyagolható legyen! Ekkor a test súlya úgy írható fel, hogy

\begin{matrix} G = {lim}_{Δ r \to 0}^{} Σ a (r_{i}) Δ m = {lim}_{Δ r \to 0}^{} Σ (R - h + r_{i}) ω^{2} ϱ Δ r A = \\ = \int_{0}^{h} (R - h + r) ω^{2} A ϱ d r = m ω^{2} R (1 - h / 2 R) = 9 kp, \end{matrix}

(ahol

A

a keresztmetszet,

ϱ

a sűrűség).

Egy test súlypontján a testre ható súlyerő támadáspontját értjük. Más szóval, ha a

G

erő itt támad, akkor a forgatónyomatéka egyenlő a rúd egyes részeire ható erők forgatónyomatékainak az összegével (l. a megjegyzést). A koordináta-rendszer kezdőpontjának a rúdnak a tengelyhez közelebbi végét véve nyerjük:

\begin{matrix} G \cdot r_{s} = {lim}_{Δ r \to 0}^{} Σ (R - h + r_{i}) r_{i} ω^{2} ϱ A Δ r = \\ = \int_{0}^{h} (R - h + r) r ω^{2} A ϱ d r = A ϱ ω^{2} [(R - h) (h^{2} / 2) + h^{3} / 3], \end{matrix}

innen

\begin{matrix} r_{s} = \frac{h}{2} \frac{(1 - h / 3 R)}{(1 - h / 2 R)} = 28 / 27 m \approx 1, 037 m . \end{matrix}

Tehát a rúd súlypontja a henger palástjától, azaz a "talajtól''

0, 963

méterre van.

Lájer Konrád (Tapolca, Batsányi J. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Számos megoldó rosszul értelmezte a súlypont fogalmát. A legáltalánosabb hiba az volt, hogy a súlypontot és a tömegközéppontot (a továbbiakban sp ill. tkp) azonosnak vették, illetve a két fogalmat összekeverték, és a tkp-ra vonatkozó tételeket sem alkalmazták helyesen.

A tkp definíció szerint az a pont, amelynek a helyvektora

r_{t k p} = \frac{Σ m_{i} r_{t}}{Σ m_{i}}

. Erről tudjuk, hogy úgy mozog, mintha a rendszer egész tömege ebbe a pontba lenne sűrítve, és a rendszerre ható külső erők

Σ F_{k}

eredője erre a pontra hatna. Ezt például felhasználhatjuk a

G

meghatározásához: a homogén rúd tkp-ja a felében van, ez a pont a kényszerek miatt egy

(R - (h / 2))

sugarú körpályán mozog, tehát

G = Σ F_{k} = (R - (h / 2)) ω^{2} m

. De hibás az az okoskodás, hogy az

m

tömegű

(R - (h / 2))

helyen levő tömegpontra

(R - (h / 2)) ω^{2} m

erő hat, tehát a súly

(R - (h / 2)) ω^{2} m

. Példánkban ugyanazt az eredményt kapjuk, de ez csak a gyorsulás lineáris helyfüggésének köszönhető. Ha azonban a nehézségi gyorsulás helyfüggése más, mint pl. gravitációs erőtérben nagy távolságok esetén, az említett gondolatmenet rossz eredményre vezet. A helyes okoskodás a következő:

g (r) = γ M_{F} / r^{2}

, így a Föld középpontja felé mutató rúd súlya

\begin{matrix} γ M_{F} A ϱ \int_{R}^{R + h} (1 / r^{2}) d r = \frac{m M_{F} γ}{R (R + h)} \neq \frac{M_{F} m γ}{{[R + (h / 2)]}^{2}} . \end{matrix}

Itt jól látszik, hogy a rendszerre ható külső erők kiszámítását és a tömegek tkp-ba való sűrítését nem szabad fölcserélni.
A sp szabatos definiálása helyfüggő erőtérben, amilyen példánkban is szerepel, nehéz. Ha ugyanis úgy definiáljuk, hogy a súlyvonalak metszéspontja, akkor esetleg nem is kapunk egy pontot: a test forgatásával az erők nagysága is megváltozhat, és így a súlyvonalak több metszéspontot is adhatnak. A legkézenfekvőbb meghatarozás az, amit a feladat megoldásában adtunk, de ez önmagában még nem teljes: az eredő erő a hatásvonalában eltolható, ettől a forgatónyomatéka nem változik, tehát a hatásvonal minden pontja vehető a súlyerő támadáspontjának. Belátható, hogy a testet kicsi (!) szöggel elforgatva a súlyerő új és régi hatásvonalának a metszéspontja első közelítésben a szögtől független. Ezt a pontot nevezhetjük az adott helyzetben a test sp-jának. Ez a meghatározás hasonlít a homogén térben célszerű meghatározáshoz, de itt lényeges, hogy a súlyvonalak szöge kicsiny. Példánkban a rúd függőleges helyzetében a súlyerő hatásvonala a rúd tengelye. A rudat kicsi a szöggel elforgatva, a rúd egyes pontjainak a tengelytől való távolsága csak

α

-ban másodrendben változik, így az erők nagyságának a változása elhanyagolható. Az új helyzetben felírható forgatónyomaték-egyenletből a szögfüggvény kiesik (l. az ábrát), így lapjuk a megoldásban felírt egyenletet.
Sok megoldó úgy okoskodott, hogy a sp-on átmenő síkok a testet azonos súlyú részekre osztják. Ez még homogén erőtérben is csak speciális esetekben igaz: gondoljunk két különböző tömegű test közös sp-jára: az valahol a két test között a tengelyen van, és a sp két oldalán a testek súlya különböző.

Woynasrovich Ferenc