Feladat: 1281. fizika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Györgyi Géza ,  Schuler László ,  Virosztek Attila 
Füzet: 1975/december, 235 - 236. oldal  PDF file
Témakör(ök): Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Tömegközéppont mozgása, Galilei-transzformáció, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/március: 1281. fizika feladat

Két, m1 ill. m2 tömegű, q1 ill. q2 pozitív töltésű részecske ugyanazon az egyenesen mozoghat. Kezdeti távolságuk r0. Egy adott pillanatban egymás felé indítjuk őket v1 ill. v2 kezdősebességgel. Mekkora távolságra közelíthetik meg egymást? Milyen sebességgel fognak mozogni a részecskék egymástól igen nagy távolságban?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két részecske abban a pillanatban van a legközelebb, amikor egymáshoz viszonyítva nem mozognak, vagyis sebességük megegyezik. (Csak a tömegközépponthoz rögzített koordinátarendszerben lesz a részecskék sebessége 0!) Az impulzus és az energia megmaradásának tétele szerint

m1v1+m2v2=(m1+m2)v,(1)
kq1q2r0+12m1v12+12m2v22=kq1q2rmin+12(m1+m2)v2,(2)
ahol v a két részecske közös sebessége abban a pillanatban, amikor a minimális rmin távolságra vannak; v megegyezik a tömegközéppont sebességével. (1)-ből
v=m1v1+m2v2m1+m2,(3)
v-t (2) helyettesítve és rendezve kapjuk:
rmin=kq1q2kq1q2r0+12m1m2(m1+m2)(v1-v2)2.

Ha a részecskék nagy távolságra vannak egymástól, helyzeti energiájuk elhanyagolható. Sebességük ekkor legyen v'1 ill. v'2. Az impulzus és az energia megmaradása alapján
(m1+m2)v=m1v'1+m2v'2,(4)
12(m1+m2)v2+kq1q2rmin=12m1(v'1)2+12m2(v'2)2.(5)
Az egyenletrendszert megoldva nyerjük:
v'1=v±2m2m1(m1+m2)kq1q2rmin,v'2=v2m1m2(m1+m2)kq1q2rmin.,
Mivel a részecskék ellenkező irányban távolodnak, mint ahogyan közeledtek egymáshoz, azért ha az előjeles sebességekre v1<v2, akkor a felső, v1>v2 esetén pedig az alsó előjel érvényes.
 

  Virosztek Attila (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. A részecskék között konzervatív erő hat, így pontosan érvényes az energia megmaradásának tétele. A vizsgált folyamat tehát egy tökéletesen rugalmas ütközés, ahol nemcsak a kezdő- és végállapotot, hanem még a közbenső helyzeteket, az ütközés lefolyását is nyomon tudjuk követni.
 

  Györgyi Géza (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján