Kezdőlap


Feladat:	1281. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Györgyi Géza , Schuler László , Virosztek Attila
Füzet:	1975/december, 235 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Tömegközéppont mozgása, Galilei-transzformáció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/március: 1281. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két részecske abban a pillanatban van a legközelebb, amikor egymáshoz viszonyítva nem mozognak, vagyis sebességük megegyezik. (Csak a tömegközépponthoz rögzített koordinátarendszerben lesz a részecskék sebessége $0$ !) Az impulzus és az energia megmaradásának tétele szerint

\begin{matrix} m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + m_{2}) v, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} k \frac{q_{1} q_{2}}{r_{0}} + \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = k \frac{q_{1} q_{2}}{r_{{min}_{}^{}}} + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v^{2}, \end{matrix}

(2)

ahol

v

a két részecske közös sebessége abban a pillanatban, amikor a minimális

r_{{min}_{}^{}}

távolságra vannak;

v

megegyezik a tömegközéppont sebességével. (1)-ből

\begin{matrix} v = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \end{matrix}

(3)

v

-t (2) helyettesítve és rendezve kapjuk:

\begin{matrix} r_{{min}_{}^{}} = \frac{k q_{1} q_{2}}{k \frac{q_{1} q_{2}}{r_{0}} + \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{(m_{1} + m_{2})} {(v_{1} - v_{2})}^{2}} . \end{matrix}

Ha a részecskék nagy távolságra vannak egymástól, helyzeti energiájuk elhanyagolható. Sebességük ekkor legyen

v'_{1}

ill.

v'_{2}

. Az impulzus és az energia megmaradása alapján

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) v = m_{1} v'_{1} + m_{2} v'_{2}, \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v^{2} + k \frac{q_{1} q_{2}}{r_{{min}_{}^{}}} = \frac{1}{2} m_{1} {(v'_{1})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {(v'_{2})}^{2} . \end{matrix}

(5)

Az egyenletrendszert megoldva nyerjük:

\begin{matrix} v'_{1} = v \pm \sqrt[]{\frac{2 m_{2}}{m_{1} (m_{1} + m_{2})} \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{{min}_{}^{}}}}, \\ v'_{2} = v \mp \sqrt[]{\frac{2 m_{1}}{m_{2} (m_{1} + m_{2})} \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{{min}_{}^{}}} .}, \end{matrix}

Mivel a részecskék ellenkező irányban távolodnak, mint ahogyan közeledtek egymáshoz, azért ha az előjeles sebességekre

v_{1} < v_{2}

, akkor a felső,

v_{1} > v_{2}

esetén pedig az alsó előjel érvényes.

Virosztek Attila (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A részecskék között konzervatív erő hat, így pontosan érvényes az energia megmaradásának tétele. A vizsgált folyamat tehát egy tökéletesen rugalmas ütközés, ahol nemcsak a kezdő- és végállapotot, hanem még a közbenső helyzeteket, az ütközés lefolyását is nyomon tudjuk követni.

Györgyi Géza (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján