Feladat: 1240. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szvetnik Endre 
Füzet: 1975/május, 229 - 230. oldal  PDF file
Témakör(ök): Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Súrlódási határszög, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/november: 1240. fizika feladat

Az m tömegű elhanyagolható méretű test vízszintes sima síkon fekvő L hosszúságú M tömegű deszka egyik végén nyugszik. A test és a deszka között a súrlódási együttható μ. Legalább mekkora hosszirányú kezdősebességgel kell meglöknünk a deszkát, hogy a test alól kicsússzék?
 



A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A meglökést követő pillanatban a M tömegű deszka v0 sebességgel csúszik a nyugvó vonatkoztatási rendszerhez képest, a m tömegű test pedig áll.

 

 

A két test relatív csúszása miatt fellépő μmg nagyságú súrlódási erő lassítja a deszkát és gyorsítja a m tömegű testet. A M és a m tömegű testek a1, ill. a2 gyorsulását a Newton-törvény segítségével határozhatjuk meg:
a1=-μmg/M,a2=μg.(1)
t idő múlva a két test sebessége megegyezik,
v0+a1t=a2t,(2)
s a testekre ható súrlódási erő zérus lesz, mivel ekkor a testek egymáshoz képest nem mozdulnak el. Így a továbbiakban már mindkét test állandó és azonos sebességgel halad.
A M tömegű deszka akkor fog kicsúszni a m tömegű test alól, ha a testek által t idő alatt megtett utak különbsége nagyobb a deszka L hosszánál. Így a legkisebb v0 indítási sebességre a következő egyenletet írhatjuk fel:
v0t+(1/2)a1t2-(1/2)a2t2=L.(3)
(2)-ből kifejezve a t időt és behelyettesítve (3)-ba, a következő kifejezést kapjuk:
12v02(a2-a1)=L.
Ebből az egyenletből a keresett v0 kifejezhető, így az (1) egyenletek felhasználásával kapjuk:
v0=2Lgμ(M+m)M.(4)
Ennél nagyobb sebességgel kell meglökni a deszkát, hogy az m tömegű test alól kicsússzék.
 

II. megoldás. A deszka kicsúszásának pillanatában a két test azonos v sebességgel mozog. Mivel a két testre csak belső erők hatnak, ezért a rendszer teljes impulzusa állandó, s így
Mv0=(M+m)v.
A két test egymáson történő csúszásakor a súrlódási erő L hosszúságú úton munkát végez, és ezzel csökkenti a rendszer kinetikus energiáját, azaz
(1/2)Mv02-(1/2)(M+m)v2=μmgL.
A két egyenletből a keresett sebességre (4)-gyel azonos eredmény adódik.
 

 Szvetnik Endre (Kecskemét, Katona J. Gimn., II. o. t.)