Kezdőlap


Feladat:	1240. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szvetnik Endre
Füzet:	1975/május, 229 - 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Súrlódási határszög, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: 1240. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A meglökést követő pillanatban a $M$ tömegű deszka $v_{0}$ sebességgel csúszik a nyugvó vonatkoztatási rendszerhez képest, a $m$ tömegű test pedig áll.

A két test relatív csúszása miatt fellépő

μ m g

nagyságú súrlódási erő lassítja a deszkát és gyorsítja a

m

tömegű testet. A

M

és a

m

tömegű testek

a_{1}

, ill.

a_{2}

gyorsulását a Newton-törvény segítségével határozhatjuk meg:

\begin{matrix} a_{1} = - μ m g / M, a_{2} = μ g . \end{matrix}

(1)

t

idő múlva a két test sebessége megegyezik,

\begin{matrix} v_{0} + a_{1} t = a_{2} t, \end{matrix}

(2)

s a testekre ható súrlódási erő zérus lesz, mivel ekkor a testek egymáshoz képest nem mozdulnak el. Így a továbbiakban már mindkét test állandó és azonos sebességgel halad.
A

M

tömegű deszka akkor fog kicsúszni a

m

tömegű test alól, ha a testek által

t

idő alatt megtett utak különbsége nagyobb a deszka

L

hosszánál. Így a legkisebb

v_{0}

indítási sebességre a következő egyenletet írhatjuk fel:

\begin{matrix} v_{0} t + (1 / 2) a_{1} t^{2} - (1 / 2) a_{2} t^{2} = L . \end{matrix}

(3)

(2)-ből kifejezve a

t

időt és behelyettesítve (3)-ba, a következő kifejezést kapjuk:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot \frac{v_{0}^{2}}{(a_{2} - a_{1})} = L . \end{matrix}

Ebből az egyenletből a keresett

v_{0}

kifejezhető, így az (1) egyenletek felhasználásával kapjuk:

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{\frac{2 L g μ (M + m)}{M}} . \end{matrix}

(4)

Ennél nagyobb sebességgel kell meglökni a deszkát, hogy az

m

tömegű test alól kicsússzék.

II. megoldás. A deszka kicsúszásának pillanatában a két test azonos

v

sebességgel mozog. Mivel a két testre csak belső erők hatnak, ezért a rendszer teljes impulzusa állandó, s így

\begin{matrix} M v_{0} = (M + m) v . \end{matrix}

A két test egymáson történő csúszásakor a súrlódási erő

L

hosszúságú úton munkát végez, és ezzel csökkenti a rendszer kinetikus energiáját, azaz

\begin{matrix} (1 / 2) M v_{0}^{2} - (1 / 2) (M + m) v^{2} = μ m g L . \end{matrix}

A két egyenletből a keresett sebességre (4)-gyel azonos eredmény adódik.

Szvetnik Endre (Kecskemét, Katona J. Gimn., II. o. t.)