Feladat: 1177. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Biczók László ,  Bíró Tamás ,  Katus Gábor 
Füzet: 1974/október, 91 - 93. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elektromos dipólus, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/december: 1177. fizika feladat

Két, p1, ill. p2 dipolmomemtumú részecskét egymástól r0 távolságra úgy helyezünk el, hogy az első rögzített, a második szabadon mozoghat. Mekkora mechanikai munka szükséges ahhoz, hogy az utóbbit a két részecskét összekötő egyenes mentén a végtelenbe távolítsuk?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elektromos dipólnak nevezzük az egymástól (rögzített) kis távolságra elhelyezkedő, ellenkező előjelű, azonos nagyságú töltéssel rendelkező töltéspárt. A dipólust egy vektorral jellemezzük, melynek nagysága p=|p|=Ql, ahol l a ‐ Q és + Q töltések távolsága, a p vektor iránya pedig a negatív töltéstől a pozitív felé mutat.
Először meghatározzuk a dipól elektromos terét a töltések egyenese mentén. A tér a két ponttöltés terének vektori összege. A térerősség abszolút értéke a dipóltól r távolságra:

|E|=|E1+E2|=Q(r-l/2)2-Q(r+l/2)3=2Qlr[r2-(l/2)2]2.(1)Harl,|E|=2Qlr3=2pr3(2)



 

 


A dipólus tere tehát r-3-nal arányos (a ponttöltésé csak r-2-nal), és nem izotróp, mint a ponttöltés tere.
Ha a rögzített p1 dipól terébe egy szabadon forgó p2 dipólust helyezünk, akkor az az ábrán látható módon fog beállni. A két dipól közt ható erő:
F=ΣQiE(ri)=Q2E(r+l2/2)-Q2E(r-l2/2)=2p1Q2[1(r+l2/2)3-1(r-l2/2)3].(3)
Használjuk ki, hogy rl2, és alkalmazzuk az x1-re érvényes (1+x)-n1-nx közelítést.

Ekkor (3) a következő alakban írható:
F2p1Q2r3[(1-32l2r)-(1+32l2r)]=-6p1p2r4(4)

ugyanis p2=Q2l2.

A tér ellenében végzett munka, miközben a dipólusokat a kezdeti r0 távolságról végtelen messze távolítjuk egymástól:
W=rc(-F)dr=6p1p2rcr-4dr=2p1p2r03.(5)
 

  Biczók László (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)
 
II. megoldás. Ha egy Q1 töltéstől r kezdeti távolságra levő Q2 töltést végtelen messze akarunk távolítani, akkor az ehhez szükséges munka
Epot()-Epot(r)=-Q1Q2r,(6)
ugyanis Q1 terében Q2 potenciális energiája Epot(r)=Q1Q2r.
Tekintsük az ábra töltéselrendezését! A p2 dipólust végtelen messze távolítva annyi munkát kell végeznünk, mint amennyi munkára együttvéve lenne szükség, ha a -Q2 és +Q2 töltéseket külön-külön távolítanánk végtelen messze a p1 dipólustól. A végzendő munka tehát (6) alapján:
W=-Q1(-Q2)r0-[(1/2)l1+(1/2)l2]-(-Q1)Q2r0+[(1/2)l1+(1/2)l2]--Q1Q2r0+[(1/2)l1-(1/2)l2]-(-Q1)(-Q2)r0-[(1/2)l1-(1/2)l2],
vagy egy egyszerű átalakítással
W=Q1Q2r0(11-x+11+x-11+y-11-y),(7)
ahol x=l1+l22rv,y=l1-l22r0.
Alkalmazzuk a geometriai sor összegképletét,
11-x=1+x+x2+x3+...,11+x=1-x+x2-x3+...(8)
és helyettesítsük be (7)-be. Mivel x és y kis mennyiségek, elegendő a sor elsó négy tagját figyelembe venni.

Így ‐ egyszerűsítések után ‐
W=Q1Q2r0(2x2-2y2)=Q1Q22r03[(l1+l2)2-(l1-l2)2]=2p1p2r03;
 

  Katus Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzés. Az elektromos dipólus potenciáljának, illetve, terének számítása (nemcsak a dipólus egyenese mentén) megtalálható Feynman: Mai fizika 5. kötetében.