Kezdőlap


Feladat:	1177. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biczók László , Bíró Tamás , Katus Gábor
Füzet:	1974/október, 91 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elektromos dipólus, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/december: 1177. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elektromos dipólnak nevezzük az egymástól (rögzített) kis távolságra elhelyezkedő, ellenkező előjelű, azonos nagyságú töltéssel rendelkező töltéspárt. A dipólust egy vektorral jellemezzük, melynek nagysága $p = | p | = Q l$ , ahol $l$ a ‐ $Q$ és + $Q$ töltések távolsága, a p vektor iránya pedig a negatív töltéstől a pozitív felé mutat.
Először meghatározzuk a dipól elektromos terét a töltések egyenese mentén. A tér a két ponttöltés terének vektori összege. A térerősség abszolút értéke a dipóltól $r$ távolságra:

\begin{matrix} | E | = | E_{1} + E_{2} | = \frac{Q}{{(r - l / 2)}^{2}} - \frac{Q}{{(r + l / 2)}^{3}} = \frac{2 Q l r}{{[r^{2} - {(l / 2)}^{2}]}^{2}} . & (1) \\ Ha r ≫ l, \\ | E | = \frac{2 Q l}{r^{3}} = \frac{2 p}{r^{3}} & (2) \end{matrix}

A dipólus tere tehát

r^{- 3}

-nal arányos (a ponttöltésé csak

r^{- 2}

-nal), és nem izotróp, mint a ponttöltés tere.
Ha a rögzített

p_{1}

dipól terébe egy szabadon forgó

p_{2}

dipólust helyezünk, akkor az az ábrán látható módon fog beállni. A két dipól közt ható erő:

\begin{matrix} F = Σ Q_{i} E (r_{i}) = Q_{2} E (r + l_{2} / 2) - Q_{2} E (r - l_{2} / 2) = 2 p_{1} Q_{2} [\frac{1}{{(r + l_{2} / 2)}^{3}} - \frac{1}{{(r - l_{2} / 2)}^{3}}] . \end{matrix}

(3)

Használjuk ki, hogy

r ≫ l_{2}

, és alkalmazzuk az

x ≪ 1

-re érvényes

{(1 + x)}^{- n} \approx 1 - n x

közelítést.

Ekkor (3) a következő alakban írható:

\begin{matrix} F \approx \frac{2 p_{1} Q_{2}}{r^{3}} [(1 - \frac{3}{2} \frac{l_{2}}{r}) - (1 + \frac{3}{2} \frac{l_{2}}{r})] = - \frac{6 p_{1} p_{2}}{r^{4}} \end{matrix}

(4)

ugyanis

p_{2} = Q_{2} l_{2}

.

A tér ellenében végzett munka, miközben a dipólusokat a kezdeti

r_{0}

távolságról végtelen messze távolítjuk egymástól:

\begin{matrix} W = \int_{r_{c}}^{\infty} (- F) d r = 6 p_{1} p_{2} \int_{r_{c}}^{\infty} r^{- 4} d r = \frac{2 p_{1} p_{2}}{r_{0}^{3}} . \end{matrix}

(5)

Biczók László (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Ha egy

Q_{1}

töltéstől

r

kezdeti távolságra levő

Q_{2}

töltést végtelen messze akarunk távolítani, akkor az ehhez szükséges munka

\begin{matrix} E_{pot} (\infty) - E_{pot} (r) = - \frac{Q_{1} Q_{2}}{r}, \end{matrix}

(6)

ugyanis

Q_{1}

terében

Q_{2}

potenciális energiája

E_{pot} (r) = \frac{Q_{1} Q_{2}}{r}

.
Tekintsük az ábra töltéselrendezését! A

p_{2}

dipólust végtelen messze távolítva annyi munkát kell végeznünk, mint amennyi munkára együttvéve lenne szükség, ha a

- Q_{2}

és

+ Q_{2}

töltéseket külön-külön távolítanánk végtelen messze a

p_{1}

dipólustól. A végzendő munka tehát (6) alapján:

\begin{matrix} W = & - \frac{Q_{1} (- Q_{2})}{r_{0} - [(1 / 2) l_{1} + (1 / 2) l_{2}]} - \frac{(- Q_{1}) Q_{2}}{r_{0} + [(1 / 2) l_{1} + (1 / 2) l_{2}]} - \\ - & \frac{Q_{1} Q_{2}}{r_{0} + [(1 / 2) l_{1} - (1 / 2) l_{2}]} - \frac{(- Q_{1}) (- Q_{2})}{r_{0} - [(1 / 2) l_{1} - (1 / 2) l_{2}]}, \end{matrix}

vagy egy egyszerű átalakítással

\begin{matrix} W = \frac{Q_{1} Q_{2}}{r_{0}} (\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{1 + y} - \frac{1}{1 - y}), \end{matrix}

(7)

ahol

x = \frac{l_{1} + l_{2}}{2 r_{v}}, y = \frac{l_{1} - l_{2}}{2 r_{0}}

.
Alkalmazzuk a geometriai sor összegképletét,

\begin{matrix} \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ..., \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + ... \end{matrix}

(8)

és helyettesítsük be (7)-be. Mivel

x

és

y

kis mennyiségek, elegendő a sor elsó négy tagját figyelembe venni.

Így ‐ egyszerűsítések után ‐

\begin{matrix} W = \frac{Q_{1} Q_{2}}{r_{0}} (2 x^{2} - 2 y^{2}) = \frac{Q_{1} Q_{2}}{2 r_{0}^{3}} [{(l_{1} + l_{2})}^{2} - {(l_{1} - l_{2})}^{2}] = \frac{2 p_{1} p_{2}}{r_{0}^{3}}; \end{matrix}

Katus Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Az elektromos dipólus potenciáljának, illetve, terének számítása (nemcsak a dipólus egyenese mentén) megtalálható Feynman: Mai fizika 5. kötetében.