Feladat: 1121. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bari Ferenc ,  Kartaly Béla ,  Mester János ,  Meszéna Géza ,  Tegze Miklós 
Füzet: 1973/november, 181 - 182. oldal  PDF file
Témakör(ök): Proton, Pozitron, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/március: 1121. fizika feladat

Egy a oldalú négyzet négy csúcsában két proton és két pozitron helyezkedik el (helyesebben: ,,jó közelítéssel kis helyre van lokalizálva"). A proton és pozitron tömegének aránya M/m2000, töltésük ugyanakkora. Keressük meg a sebességek közelítő arányát (a végtelenben) szétrepülés után.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot legkönnyebben az energiamegmaradás tétele segítségével oldhatjuk meg. Először azt kell meghatároznunk, hogy mennyivel változik meg két ‐ egyaránt e töltésű ‐ test potenciális energiája, ha r-től R-re növekszik távolságuk. Mivel a köztük ható Coulomb-erő x távolságnál

f(x)=ke2/x2,
ezért az energiaváltozás ‐ amely a végzett munkával egyenlő:
W=rRf(x)dx=ke2rR(1/x2)dx=ke2(1/r-1/R).
Ha a testek nagyon messze kerülnek egymástól (Rr), akkor 1/R elhanyagolható 1/r mellett, és így a potenciális energia megváltozása ke2/r.
Ha a fenti levezetést közvetlenül alkalmazzuk feladatunkra, akkor csak annyit állíthatunk, hogy a négy töltés kezdeti
4ke2/a+2ke2/2a
potenciális energiája megegyezik a mozgási energiájukkal, mikor már nagyon eltávolodnak egymástól. Ha v-vel jelöljük a pozitronok, u-val pedig a protonok sebességét a végtelenben, akkor a
ke2a(4+2)=2(12mv2+12Mu2)
összefüggés csak a mozgási energiák összegét adja meg, de nem mondja meg, hogy milyen arányban osztoznak az egyes részecskék ebből az energiából.
Használjuk ki, hogy a proton tömege sokkal nagyobb a pozitron tömegénél (Mm) ! Mivel kezdetben azonos erők hatnak valamennyi részecskére, ezért a protonok kb. 2000-szer kisebb gyorsulással mozognak, mint a pozitronok. Van egy olyan időpont, amikor a pozitronok már lényegesen eltávolodtak egymástól (ra), de a protonok még alig mozdultak meg (Δsa). Hogy a nagyságrendeket ‐ és így a közelítés pontosságát ‐ megbecsülhessük, tételezzük fel egy pillanatra, hogy a testek a kezdeti gyorsulással mozognak egy ideig (természetesen ez nem igaz, hiszen ahogy távolodnak, a köztük ható erő csökken, de a nagyságrendi becslést ez nem rontja el). Ekkor az azonos idők alatt a megtett utak a tömegekkel fordítottan arányosak. Mialatt a pozitronok 50a utat tesznek meg, azalatt a protonok ennek csak 1/2000-szeresét, vagyis (1/40)a-t. Az 50a elég nagy ahhoz, hogy a-hoz képest ,,végtelen''-nek tekintsük (legalább 10% pontosságig), az (1/40)a pedig elég kicsi ahhoz, hogy a mellett elhanyagoljuk, vagyis úgy vegyük, mintha a proton meg sem mozdult volna (megint csak 10%-nál kisebb hibát vétünk). Ha tovább várunk, a pozitronok lényegében változatlan sebességgel repülnek tovább, a protonok pedig lassan megindulnak, de mozgásuk a pozitronokra már egyáltalán nincs hatással.
A tényleges számításban két esetet kell megkülönböztetnünk.
 

 

1. ábra
 

Ha az egyforma típusú részecskék a négyzet átlói mentén helyezkednek el (1. ábra), akkor az energiatétel a két egymásutáni lépésben:
4ke2/a+ke2/2a=2(1/2)mv2,ke2/2a=2(1/2)Mu2


alakú, ahonnan
v=ke22ma(42+1)ésu=ke22Ma.
A sebességek aránya:
uv=mM142+10,007.
 

 

2. ábra
 

Amennyiben a protonok kezdetben a négyzet azonos oldalélének végpontjain voltak (2. ábra), úgy a következő összefüggéseket írhatjuk fel:
3ke2a+2e22a=212mv2,ke2a=212Mu2,


ahonnan
uv=mM13+20,01.
 

Meszéna Géza (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

 

Megjegyzés. A legtöbb versenyző azt a hibás feltevést tette, hogy a protonok és pozitronok egyenlő arányban osztozkodnak a kezdeti potenciális energián és így a sebességek arányára m/M0,02 értéket kaptak. Ezt a feltevést csak valamilyen részecskénként érvényes energiatétellel lehetne alátámasztani, ilyen viszont nem létezik. Az energiamegmaradás tétele csak a rendszer teljes energiájára ad összefüggéseket.