Kezdőlap


Feladat:	1121. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bari Ferenc , Kartaly Béla , Mester János , Meszéna Géza , Tegze Miklós
Füzet:	1973/november, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Proton, Pozitron, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: 1121. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot legkönnyebben az energiamegmaradás tétele segítségével oldhatjuk meg. Először azt kell meghatároznunk, hogy mennyivel változik meg két ‐ egyaránt $e$ töltésű ‐ test potenciális energiája, ha $r$ -től $R$ -re növekszik távolságuk. Mivel a köztük ható Coulomb-erő $x$ távolságnál

\begin{matrix} f (x) = k e^{2} / x^{2}, \end{matrix}

ezért az energiaváltozás ‐ amely a végzett munkával egyenlő:

\begin{matrix} W = \int_{r}^{R} f (x) d x = k e^{2} \int_{r}^{R} (1 / x^{2}) d x = k e^{2} (1 / r - 1 / R) . \end{matrix}

Ha a testek nagyon messze kerülnek egymástól

(R ≫ r)

, akkor

1 / R

elhanyagolható

1 / r

mellett, és így a potenciális energia megváltozása

k e^{2} / r

.
Ha a fenti levezetést közvetlenül alkalmazzuk feladatunkra, akkor csak annyit állíthatunk, hogy a négy töltés kezdeti

\begin{matrix} 4 k e^{2} / a + 2 k e^{2} / \sqrt[]{2} a \end{matrix}

potenciális energiája megegyezik a mozgási energiájukkal, mikor már nagyon eltávolodnak egymástól. Ha

v

-vel jelöljük a pozitronok,

u

-val pedig a protonok sebességét a végtelenben, akkor a

\begin{matrix} \frac{k e^{2}}{a} (4 + \sqrt[]{2}) = 2 (\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M u^{2}) \end{matrix}

összefüggés csak a mozgási energiák összegét adja meg, de nem mondja meg, hogy milyen arányban osztoznak az egyes részecskék ebből az energiából.
Használjuk ki, hogy a proton tömege sokkal nagyobb a pozitron tömegénél

(M ≫ m)

! Mivel kezdetben azonos erők hatnak valamennyi részecskére, ezért a protonok kb. 2000-szer kisebb gyorsulással mozognak, mint a pozitronok. Van egy olyan időpont, amikor a pozitronok már lényegesen eltávolodtak egymástól

(r ≫ a)

, de a protonok még alig mozdultak meg

(Δ s ≪ a)

. Hogy a nagyságrendeket ‐ és így a közelítés pontosságát ‐ megbecsülhessük, tételezzük fel egy pillanatra, hogy a testek a kezdeti gyorsulással mozognak egy ideig (természetesen ez nem igaz, hiszen ahogy távolodnak, a köztük ható erő csökken, de a nagyságrendi becslést ez nem rontja el). Ekkor az azonos idők alatt a megtett utak a tömegekkel fordítottan arányosak. Mialatt a pozitronok

50 a

utat tesznek meg, azalatt a protonok ennek csak 1/2000-szeresét, vagyis

(1 / 40) a

-t. Az

50 a

elég nagy ahhoz, hogy

a

-hoz képest ,,végtelen''-nek tekintsük (legalább

10 %

pontosságig), az

(1 / 40) a

pedig elég kicsi ahhoz, hogy

a

mellett elhanyagoljuk, vagyis úgy vegyük, mintha a proton meg sem mozdult volna (megint csak

10 %

-nál kisebb hibát vétünk). Ha tovább várunk, a pozitronok lényegében változatlan sebességgel repülnek tovább, a protonok pedig lassan megindulnak, de mozgásuk a pozitronokra már egyáltalán nincs hatással.
A tényleges számításban két esetet kell megkülönböztetnünk.

1. ábra

Ha az egyforma típusú részecskék a négyzet átlói mentén helyezkednek el (1. ábra), akkor az energiatétel a két egymásutáni lépésben:

\begin{matrix} 4 k e^{2} / a + k e^{2} / \sqrt[]{2} a = 2 \cdot (1 / 2) m v^{2}, \\ k e^{2} / \sqrt[]{2} a = 2 \cdot (1 / 2) M u^{2} \end{matrix}

alakú, ahonnan

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{k e^{2}}{2 m a} (4 \sqrt[]{2} + 1)} és u = \sqrt[]{\frac{k e^{2}}{2 M a}} . \end{matrix}

A sebességek aránya:

\begin{matrix} \frac{u}{v} = \sqrt[]{\frac{m}{M} \frac{1}{4 \sqrt[]{2} + 1}} \approx 0, 007 . \end{matrix}

2. ábra

Amennyiben a protonok kezdetben a négyzet azonos oldalélének végpontjain voltak (2. ábra), úgy a következő összefüggéseket írhatjuk fel:

\begin{matrix} 3 k \frac{e^{2}}{a} + 2 \frac{e^{2}}{\sqrt[]{2} a} = 2 \frac{1}{2} m v^{2}, \\ k \frac{e^{2}}{a} = 2 \cdot \frac{1}{2} M u^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{u}{v} = \sqrt[]{\frac{m}{M} \frac{1}{3 + \sqrt[]{2}}} \approx 0, 01 . \end{matrix}

Meszéna Géza (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A legtöbb versenyző azt a hibás feltevést tette, hogy a protonok és pozitronok egyenlő arányban osztozkodnak a kezdeti potenciális energián és így a sebességek arányára

\sqrt[]{m / M} \approx 0, 02

értéket kaptak. Ezt a feltevést csak valamilyen részecskénként érvényes energiatétellel lehetne alátámasztani, ilyen viszont nem létezik. Az energiamegmaradás tétele csak a rendszer teljes energiájára ad összefüggéseket.