Feladat: 1093. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bari Ferenc ,  Korsós Gábor ,  Meszéna Géza ,  Németh József ,  Pályi Imre ,  Sparing László 
Füzet: 1973/április, 187 - 189. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/december: 1093. fizika feladat

R sugarú, henger alakú vályúban az α0=60-os helyzetéből kezdősebesség nélkül, csúszásmentesen legördül egy m tömegű r=0,75R sugarú tömör, homogén anyageloszlású henger. Mekkora a szögsebessége és súlypontjának sebessége az α=30-os helyzetében és a legalsó pontban ? Mekkora erőt fejt ki a pályára e pontokban ? (Legyen R=1 m, m=10 kg.)
 

 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

A henger, miközben súlypontja Δh-val mélyebbre, kerül, v sebességre és ω szögsebességre tesz szert. Csúszásmentes gördülésnél alkalmazhatjuk a mechanikai energia megmaradásának törvényét:
(1/2)mv2+(1/2)Θω2-mgΔh.(1)

 

1. ábra
 

Az 1. ábráról leolvasható, hogy
Δh=(R-r)(cosα-cosα0),(2)
ezenkívül tudjuk, hogy egy homogén tömegeloszlású henger tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengelyére vonatkoztatva Θ=mr2/2.
Az (1) egyenletből csak akkor tudjuk meghatározni a sebességet, ha kiderítjük, hogy milyen megszorítást ad a csúszásmentes gördülés ténye v és ω között. Írjuk fel a henger A pontjának sebességét a vályúhoz képest! Ennek a pontnak a mozgása ‐ ugyanúgy, mint henger bármely más pontjáé ‐ két részből tehető össze. Egyrészt a súlypont haladó mozgásából adódóan v sebességgel mozog az érintő irányában lefelé, másrészt a forgás miatt rω sebessége van az érintő irányában felfelé. Az eredő rω-v sebesség viszont a csúszásmentes gördülés miatt nulla kell, hogy legyen:
rω-v=0.(3)
Az (1)-(3) egyenletrendszer megoldása:
v=(4/3)g(R-r)(cosα-cosα0),(4)ω=(4/3)(g/r2)(R-r)(cosα-cosα0).(5)



A pályára kifejtett erő helyett kényelmesebb annak ellenerejét, vagyis a hengerre kifejtett erőt meghatároznunk. A hengerre a súlya és a vályú által kifejtett erő hat. Az utóbbit célszerű sugár irányú nyomóerőre és érintőleges súrlódási erőre bontani (2. ábra).
 

2. ábra
 

Ezen erők hatására a henger β szöggyorsulással, súlypontja ac centripetális és ai érintőleges gyorsulással mozog. Írjuk fel a Newton egyenletet olyan koordináta-rendszerben, melynek x-tengelye érintőirányú, y-tengelye pedig sugárirányú!
N-mgcosα=mac,(6)mgsinα-S=mai.(7)
A forgómozgás alapegyenlete szerint
Sr=Θβ.(8)
A csúszásmentes gördülés feltétele, (3) kis megváltozásokra is igaz:
Δv=rΔω.
A megváltozás Δt időtartamával osztva látható, hogy
at=rβ.(9)
A centripetális gyorsulásra az ac=v2/(R-r) képletből (4) felhasználásával kapjuk:
ac=(4/3)g(cosα-cosα0).
A (6)‐(9) egyenletek megoldása az erőkre
N=7cosα-4cosα03mg,(10)S=mgsinα3.(11)

Az eredő erő abszolút értéke:
F=N2+S2,(12)
ekkora erővel nyomja a henger a vályút.
A feladat numerikus adataival (4), (5) és (12) szerint
α=30-nál  v=1,09  m/s,  ω=1,46  s-1  és  F=13,6  kp,α=0-nál pedig  v=1,28  m/s,  ω=1,70  s-1  és  F=16,7  kp
adódik.
 

  Korsós Gábor (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Csúszásmentes gördülés csak akkor következhet be, ha a mozgás során végig fennáll az SuN egyenlőtlenség. A (10) és (1I) egyenletek felhasználásával ebből kapjuk a súrlódási együtthatóra a
μsinα7cosα-4cosα0sinα07cosα0-4cosα0=(1/3)  tg  60=0,58
megszorítást.
 

  Pályi Imre (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)
 

2. Sok megoldó helytelen gondolatmenettel (lásd az 1128. feladatot) a (3) kényszerfeltétel helyett a v=R-rRrω összefüggést adta meg a csúszásmentes gördülés feltételeként. Hasonló okokból hibás több példatár megoldása is (p1. Pálfai: Felvételi tájékoztató és példatár, 373. feladat; Dér‐Radnai‐Soós: Fizikai feladatok I. kötet, 7.34 feladat). A (3) feltétel helyességéről úgy is meggyőződhetünk, hogy egy vályúhoz csatlakozó sík lapon nézzük a mozgást. A sík pályán nyilván érvényes a v=rω összefüggés, és ha a vályúban ez nem teljesülne, akkor a csatlakozásuknál vagy a súlypont sebességének, vagy a szögsebességnek ugrásszerűen meg kellene változnia. Ez pedig a dinamika alapegyenletei szerint nem lehetséges.
 
3. Több megoldó a g=10  m/s2 értékkel számolt. Ez helyes abban az esetben, ha elhanyagolhatónak vesszük az így adódó kb. 2%-os hibát. Ekkor viszont nincs értelme a végeredményt 3 tizedesjegy pontossággal megadni, hiszen a harmadik jegy már hibás.