Feladat: 1088. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bacsó Gábor ,  Pálffy László ,  Turschl József 
Füzet: 1973/április, 184 - 185. oldal  PDF file
Témakör(ök): Coulomb-törvény, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/november: 1088. fizika feladat

Egy ponton megerősített három, l hosszúságú fonálon egy-egy G súlyú, r sugarú gömböcske függ. Mindegyiknek ugyanakkora Q töltést adva, mekkora sugarú körön helyezkednek el?
(Legyen l=0,2 m, G=1,29610-2N, Q=1,210-9 C.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a gömbök töltése, tömege és a fonalak hossza megegyezik, a három gömb egy vízszintes síkú szabályos háromszög csúcsaiban helyezkedik el. Vizsgáljuk meg az egyik gömbre ható erőket!
Két gömb távolsága R3, így a köztük ható taszító erő F1=kQ2/3R2.

 

 

Bármely gömbre a másik kettő taszító ereje hat, ezek eredője a vektorháromszögből
F=F13=kQ2R233
nagyságú, hatásvonala a kör középpontján megy át.
Hat még a gömb G súlyereje és valamekkora F' fonálerő. Mivel a gömbök egyensúlyban vannak, F' és G eredője F nagyságú és vele ellentétes irányú. Megszerkesztetve F' és G eredőjét, láthatjuk, hogy a vonalkázott vektorháromszög és az AOP háromszög hasonló, így
FG=AOPO,k(Q2/R2)(3/3)G=Rl2-R2.
Rendezve
3G2R6+k2Q4R2-k2Q4l2=0.

Ez egy harmadfokúra redukálható hatodfokú egyenlet, amely Cardano-képlettel vagy közelítő módszerekkel megoldható. Az adatokat MKSA egységekben behelyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk:
31012R6+R2-410-2=0.
A pozitív R2-es tagot elhagyva
31012R6-410-2<0,  így  R<4,910-3  m.

Ezért az egyenletet
31012R6=410-2-R2
alakban átrendezve, az egyenlet pozitív gyöke így becsülhető:
410-2-(4,910-3)2<31012R6<410-2,
ahonnan
R4,8710-3  m=4,87  mm.

 

  Turschl József (Bátaszék, Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A vizsgált stabil egyensúlyi helyzeten kívül van egy olyan instabil egyensúlyi helyzet is, amikor a golyók a felfüggesztési ponton átmenő függőleges síkban helyezkednek el.
Eredményünk csak akkor érvényes, ha a gömbök nem érnek össze, vagyis sugaruk R3/2-nél nagyobb.
 

  Pálffy László (Pécs, Széchenyi I. Gimn., IV. o. t.)
 

2. A feladat szövegének angol nyelvű fordításában Q=1,210-7C érték szerepel. Ezzel az értékkel számolva r=10  cm. Az előbbi elhanyagolás ebben az esetben már nem engedhető meg.