Kezdőlap


Feladat:	1088. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Pálffy László , Turschl József
Füzet:	1973/április, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: 1088. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a gömbök töltése, tömege és a fonalak hossza megegyezik, a három gömb egy vízszintes síkú szabályos háromszög csúcsaiban helyezkedik el. Vizsgáljuk meg az egyik gömbre ható erőket!
Két gömb távolsága $R \sqrt[]{3}$ , így a köztük ható taszító erő $F_{1} = k \cdot Q^{2} / 3 R^{2}$ .

Bármely gömbre a másik kettő taszító ereje hat, ezek eredője a vektorháromszögből

\begin{matrix} F = F_{1} \cdot \sqrt[]{3} = \frac{k Q^{2}}{R^{2}} \frac{\sqrt[]{3}}{3} \end{matrix}

nagyságú, hatásvonala a kör középpontján megy át.
Hat még a gömb

G

súlyereje és valamekkora

F'

fonálerő. Mivel a gömbök egyensúlyban vannak,

F'

és

G

eredője

F

nagyságú és vele ellentétes irányú. Megszerkesztetve

F'

és

G

eredőjét, láthatjuk, hogy a vonalkázott vektorháromszög és az

A O P

háromszög hasonló, így

\begin{matrix} \frac{F}{G} = \frac{A O}{P O}, \frac{k (Q^{2} / R^{2}) (\sqrt[]{3} / 3)}{G} = \frac{R}{\sqrt[]{l^{2} - R^{2}}} . \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} 3 G^{2} R^{6} + k^{2} Q^{4} R^{2} - k^{2} Q^{4} l^{2} = 0. \end{matrix}

Ez egy harmadfokúra redukálható hatodfokú egyenlet, amely Cardano-képlettel vagy közelítő módszerekkel megoldható. Az adatokat MKSA egységekben behelyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 3 \cdot 10^{12} R^{6} + R^{2} - 4 \cdot 10^{- 2} = 0. \end{matrix}

A pozitív

R^{2}

-es tagot elhagyva

\begin{matrix} 3 \cdot 10^{12} R^{6} - 4 \cdot 10^{- 2} < 0, így R < 4,9 \cdot 10^{- 3} m. \end{matrix}

Ezért az egyenletet

\begin{matrix} 3 \cdot 10^{12} R^{6} = 4 \cdot 10^{- 2} - R^{2} \end{matrix}

alakban átrendezve, az egyenlet pozitív gyöke így becsülhető:

\begin{matrix} 4 \cdot 10^{- 2} - {(4,9 \cdot 10^{- 3})}^{2} < 3 \cdot 10^{12} R^{6} < 4 \cdot 10^{- 2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} R \approx 4,87 \cdot 10^{- 3} m = 4,87 mm. \end{matrix}

Turschl József (Bátaszék, Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A vizsgált stabil egyensúlyi helyzeten kívül van egy olyan instabil egyensúlyi helyzet is, amikor a golyók a felfüggesztési ponton átmenő függőleges síkban helyezkednek el.
Eredményünk csak akkor érvényes, ha a gömbök nem érnek össze, vagyis sugaruk

R \sqrt[]{3 / 2}

-nél nagyobb.

Pálffy László (Pécs, Széchenyi I. Gimn., IV. o. t.)

2. A feladat szövegének angol nyelvű fordításában

Q = 1,2 \cdot 10^{- 7} C

érték szerepel. Ezzel az értékkel számolva

r = 10 cm

. Az előbbi elhanyagolás ebben az esetben már nem engedhető meg.