Feladat: 1070. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Meszéna Géza ,  Weber József 
Füzet: 1973/február, 89 - 90. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb kondenzátor-kapcsolások, Sorozat határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/szeptember: 1070. fizika feladat

Mennyi a kapacitása A és B között a C kapacitású kondenzátorokból álló végtelen hosszú láncnak?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A végtelen kondenzátorlánc az 1. ábrán látható "láncsszem'' végtelen sokszori ismétléseként állítható elő.

 

1. ábra
 

Ha a lánc első szemét levágjuk, ugyanúgy végtelen sok láncszemünk van, mint előbb, tehát a visszamaradó lánc kapacitása az eredeti Ce kapacitással egyezik meg. A láncot így a 2. ábrán látható módon rajzolhatjuk.
 

2. ábra
 

Ebből az eredő kapacitásra kapjuk a következő egyenletet:
Ce=C+12/C+1/Ce.
Rendezés után:
Ce2-CCe-C2/2=0.
Az eredő kapacitást az egyenlet pozitív gyöke adja meg:
Ce=1+32C.
 

Meszéna Géza (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

 

Megjegyzés. A végtelen lánc vagdalása igen szemléletes, de matematikai szempontból nem tiszta. Ezen segít a II. megoldás.
 

II. megoldás. Jelöljük az n láncszemből álló lánc kapacitását Cn-nel.
 

3. ábra
 

Cn-et könnyen kifejezhetjük Cn-1 segítségével a 3. ábra alapján:
Cn=C+12/C+1/Cn-1=3Cn-1+C2Cn-1+CC.
Nyilván Cn>C, és a számláló növelése miatt
Cn<4Cn-1+2C2Cn-1+CC=2C.
Tehát a Cn számsorozat korlátos. Most bebizonyítjuk, hogy a sorozat monoton.
Cn-Cn-1=(3Cn-1+C2Cn-1+C-3Cn-2+C2Cn-2+C)C==C2(2Cn-1+C)(2Cn-2+C)(Cn-1-Cn-2).
Az első tényező pozitív, tehát ha Cn-1>Cn-2, akkor Cn>Cn-1, vagy ha Cn-1<Cn-2, akkorCn<Cn-1. Korlátos, monoton sorozatnak van határértéke, ezt jelöljük Ce-nel. Ez lesz a "végtelen'' hosszú kondenzátorlánc kapacitása. Mivel a Cn sorozat konvergens,
limn(Cn-Cn-1)=Ce-(C+12/C+1/Ce)=0.
Ez egyenlet Ce-re, melynek pozitív megoldása
Ce=1+32C.
 

Weber József (Bp., Leöwey Klára Gimn., IV. o. t.)

 

Megjegyzés. A gyakorlatban végtelen kondenzátorlánc nincs. Feladatunk eredménye azt jelenti, hogy elegendően hosszú véges kondenzátorlánc kapacitása mérési hibán belül a 1+32C érték lesz.
 

Meszéna Géza (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)