Kezdőlap


Feladat:	1070. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Meszéna Géza , Weber József
Füzet:	1973/február, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kondenzátor-kapcsolások, Sorozat határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/szeptember: 1070. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A végtelen kondenzátorlánc az 1. ábrán látható "láncsszem'' végtelen sokszori ismétléseként állítható elő.

1. ábra

Ha a lánc első szemét levágjuk, ugyanúgy végtelen sok láncszemünk van, mint előbb, tehát a visszamaradó lánc kapacitása az eredeti

C_{e}

kapacitással egyezik meg. A láncot így a 2. ábrán látható módon rajzolhatjuk.

2. ábra

Ebből az eredő kapacitásra kapjuk a következő egyenletet:

\begin{matrix} C_{e} = C + \frac{1}{2 / C + 1 / C_{e}} . \end{matrix}

Rendezés után:

\begin{matrix} C_{e}^{2} - C C_{e} - C^{2} / 2 = 0. \end{matrix}

Az eredő kapacitást az egyenlet pozitív gyöke adja meg:

\begin{matrix} C_{e} = \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2} C . \end{matrix}

Meszéna Géza (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A végtelen lánc vagdalása igen szemléletes, de matematikai szempontból nem tiszta. Ezen segít a II. megoldás.

II. megoldás. Jelöljük az

n

láncszemből álló lánc kapacitását

C_{n}

-nel.

3. ábra

C_{n}

-et könnyen kifejezhetjük

C_{n - 1}

segítségével a 3. ábra alapján:

\begin{matrix} C_{n} = C + \frac{1}{2 / C + 1 / C_{n - 1}} = \frac{3 C_{n - 1} + C}{2 C_{n - 1} + C} \cdot C . \end{matrix}

Nyilván

C_{n} > C

, és a számláló növelése miatt

\begin{matrix} C_{n} < \frac{4 C_{n - 1} + 2 C}{2 C_{n - 1} + C} \cdot C = 2 C . \end{matrix}

Tehát a

C_{n}

számsorozat korlátos. Most bebizonyítjuk, hogy a sorozat monoton.

\begin{matrix} C_{n} - C_{n - 1} = (\frac{3 C_{n - 1} + C}{2 C_{n - 1} + C} - \frac{3 C_{n - 2} + C}{2 C_{n - 2} + C}) C = \\ = \frac{C^{2}}{(2 C_{n - 1} + C) (2 C_{n - 2} + C)} (C_{n - 1} - C_{n - 2}) . \end{matrix}

Az első tényező pozitív, tehát ha

C_{n - 1} > C_{n - 2}

, akkor

C_{n} > C_{n - 1}

, vagy ha

C_{n - 1} < C_{n - 2}

, akkor

C_{n} < C_{n - 1}

. Korlátos, monoton sorozatnak van határértéke, ezt jelöljük

C_{e}

-nel. Ez lesz a "végtelen'' hosszú kondenzátorlánc kapacitása. Mivel a

C_{n}

sorozat konvergens,

\begin{matrix} {lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} (C_{n} - C_{n - 1}) = C_{e} - (C + \frac{1}{2 / C + 1 / C_{e}}) = 0. \end{matrix}

Ez egyenlet

C_{e}

-re, melynek pozitív megoldása

\begin{matrix} C_{e} = \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2} \cdot C . \end{matrix}

Weber József (Bp., Leöwey Klára Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A gyakorlatban végtelen kondenzátorlánc nincs. Feladatunk eredménye azt jelenti, hogy elegendően hosszú véges kondenzátorlánc kapacitása mérési hibán belül a

\frac{1 + \sqrt[]{3}}{2} C

érték lesz.

Meszéna Géza (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)