Feladat: 1052. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ábrahám Tibor ,  Mester Tamás ,  Meszéna Géza ,  Németh József ,  Prőhle Péter ,  Vladár Károly 
Füzet: 1972/december, 230 - 233. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/április: 1052. fizika feladat

Vízszintes asztallapra helyezünk n darab egyforma golyót úgy, hogy középpontjaik egy szabályos sokszög csúcsaiban helyezkednek el, és a golyók szorosan egymáshoz érnek. Egy újabb ugyanilyen golyót középen rájuk helyezünk. A golyók között, valamint a golyók és az asztal között ugyanakkora a súrlódási együttható, a gördülő ellenállás elhanyagolandó. Legalább mekkorának kell lennie a csúszási súrlódási együtthatónak, hogy a golyók ne fussanak szét?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Célszerű először a geometriai viszonyokat tisztáznunk. Ha n darab r sugarú golyóból szorosan egy szabályos sokszöget rakunk ki, akkor az 1. ábra szerint a golyók középpontjának és a sokszög középpontjának távolsága

 
 
1. ábra
 

R=rsin180/n.(1)
A középre helyezett golyó csak akkor támaszkodik a többire, ha
R<2r,vagyis  han<6.
Ellenkező esetben valamennyi golyó az asztallapon nyugszik és nyilvánvalóan súrlódás nélkül is egyensúlyban van. Elegendő tehát az n=3, 4 és 5 eseteket vizsgálnunk.
Válasszunk ki egy golyót az alsók közül és rajzoljuk le ezt, valamint a középső golyót oldalnézetből (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A későbbiekben szükségünk lesz a golyók középpontját összekötő egyenes és a függőleges által bezárt φ szög nagyságára. A 2. ábráról leolvasható, hogy
sinφ=R2r,
vagyis (1) felhasználásával
sinφ=12sin180/n.(2)
Ezek után rátérhetünk a feladat fizikai részének megoldására. Merev testek nyugalmi állapotát akarjuk leírni, ennek pedig az a szükséges és elegendő feltétele, hogy a testekre ható erők eredője, valamint a forgatónyomatékok összege nulla legyen. Mivel a rendszer több testből áll, az egyensúly feltételének mindegyik testre külön‐külön teljesülnie kell.
Írjuk le először a középső golyó egyensúlyát (3. ábra).
 
 
3. ábra
 

A testre G súlyerő, valamint ismeretlen nagyságú K nyomóerő és S1 súrlódási erő hat. Az utóbbi két erő természetesen n-szer lép fel, de csak egyet‐egyet tüntettünk fel a rajzon. Érdemes az erőket függőleges és vízszintes összetevőkre bontanunk.
A függőleges összetevők egyensúlyának feltétele :
G-n(Kcosφ+S1sinφ)=0.(3)
A vízszintes összetevők eredője, valamint a forgatónyomatékok összege szimmet-ria‐okokból nyilván nulla.
Az asztallapon fekvő golyók mindegyikére a 4. ábrán látható erők hatnak.
 
 
4. ábra
 

A nyomó- és súrlódási erők nagysága Newton III. axiómája értelmében megegyezik a 3. ábrán felvett erők nagyságával. N az asztal nyomóerejének, S2 az asztallap és a golyó közti súrlódási erőnek a nagyságát jelöli. Az alsó golyók nem hatnak egymásra semmilyen erővel, hiszen a legkisebb nyomóerő eltávolítaná őket egymástól, összeszorító erő hiányában viszont súrlódási erő sem léphet fel. Ismét felírhatjuk a függőleges és vízszintes erőkomponensek egyensúlyának feltételét :
Kcosφ+S1sinφ+G-N=0,(4)Ksinφ-S1cosφ-S2=0.(5)


A forgatónyomatékok összege bármely pontra vonatkoztatva nulla kell, hogy legyen. A golyó középpontjára felírva :
S1r-S2r=0.(6)

Vigyáznunk kell, a súrlódási erő és a nyomóerő között nem áll fenn az Fs=μFny összefüggés, hiszen a testek nem csúsznak egymáson, hanem az Fsμ Fny egyenlőtlenség érvényes. Jelen esetben az egyensúly feltételéhez szükséges az
S1K,ésS2μN(7)
egyenlőtlenségek mindegyikének teljesülése.
A (3)‐(6) egyenletrendszer egyértelműen meghatározza az S1, S2, K és N ismeretleneket. A megoldás
N=n+1nG,K=1nG,S1=S2=Gnsinφ1+cosφ.
Ezeket (7)-be helyettesítve a
μ1n+1sinφ1+cosφ,(8)
illetve a
μsinφ1+cosφ(9)
feltételeket kapjuk. Mivel (9) erősebb megszorítást jelent, mint (8), ezért az egyensúly szükséges és elégséges feltétele :
μtg (φ/2).(10)
Az utolsó lépésnél felhasználtuk a
sinφ1+cosφtg φ2
trigonometriai azonosságot. (2) alapján sinφ-t kifejezhetjük n-nel, így végül n darab golyónál a súrlódási együtthatóra alsó korlátként a
μn=2sin180n-4sin2180n-1(11)
kifejezést kapjuk. A megfelelő numerikus értékek
μ3=3-20,32,μ4=2-10,41,μ50,56.
A (11) képlet formálisan érvényes n=2 és n=6 értékekre is. Az előbbi esetben μ2=2-3=0,27, de ilyenkor nincs értelme sokszögről beszélni és az egyensúly labilis. n=6-ra μ6=1, ami csak akkor helyes, ha valamilyen módon biztosítani tudjuk, hogy a középső golyó ne támaszkodjék az asztalra ‐ hiszen ezt a számítás során kihasználtuk. Például a középső golyót egy nagyon kicsivel nagyobbra készíthetjük a többinél, vagy pedig egy kicsit horpadt felületre helyezzük a golyókat.
 

Ábrahám Tibor (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
 

II. megoldás. A feladatot megoldhatjuk szerkesztéssel is. Az asztalon levő bármely golyó akkor van egyensúlyban, ha a rá ható erők eredője nulla és hatásvonaluk egy ponton megy át. Ez utóbbi feltétel a forgatónyomatékok egyensúlyát biztosítja.
A G súlyerő, az asztal nyomóereje és az asztalnál fellépő súrlódási erő egyaránt a B ponton halad át (5. ábra).
 
 
5. ábra
 

Szükséges tehát, hogy a felső golyó által kifejtett erő (nyomóerő+súrlódási erő), amelynek hatásvonala az A ponton biztosan átmegy, szintén a B ponton haladjon át. Ez annyit jelent, hogy az érintkezési felületre merőleges egyenes és az erő hatásvonala φ/2 szöget zár be. A (7) feltétel szerint viszont az egyensúly feltétele éppen az, hogy ezen szög tangense kisebb legyen, mint μ. Így közvetlenül megkaptuk (10) egyenlőtlenséget.
 
 
6. ábra
 

Az asztal és a golyó között ható erő a 6. ábra alapján biztosan kisebb szöget zár be a függőlegessel, mint φ/2, ezért a (10) feltétel egyben azt is biztosítja, hogy az asztallapnál sem csúszhatnak meg a golyók.
 

Prőhle Péter (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. A numerikus számítás eredményét összefoglaljuk a következő táblázatban :
 

|n   T   sinφcosφ   μ|230123212+3=0,268|335,233   2312+3=0,318|4  45   222211+2=2-1=0,414|558,7210-255-253210-25+6-25=0,559|6  90     1    0   1   =1