Feladat: 1031. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Éber Nándor ,  Gál Péter 
Füzet: 1972/szeptember, 42 - 43. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rezgőkör, Vektordiagramok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/január: 1031. fizika feladat

Az ábrán látható ideális elemekből felépített áramkör ellenállása mely frekvencián zérus?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Váltakozó áramú áramkörökben az impedancia vektorral jellemezhető. Mivel azonos feszültségre kapcsolt kondenzátoron és tekercsen az áram iránya ellentétes, az induktív és kapacitív ellenállások ellentétes irányú vektorok. A továbbiakban az induktív ellenállást pozitívnak, a kapacitív ellenállást negatívnak tekintjük.

 

A sorba kapcsolt soros és párhuzamos rezgőkör eredő impedanciája
Z=XL+XC+11/XL+1/XC,aholXL=ωL,XC=-1ωC.
A Z=0-hoz tartozó frekvenciákat keressük, tehát ω-ra kell megoldanunk az XL és XC behelyettesítésével adódó
ωL-1ωC+11/ωL-ωC=0
egyenletet. Rendezve
L2C2ω4-3LCω2+1=0,
LCω2=3±52,ω=1LC3±52=1LC5±12.
Tehát az a két frekvencia, melyen a rendszer ellenállása nulla
f1,2=1LC5±14π.

Éber Nándor (Bp., Móricz Zs. Gimn., VI. o. t.)
 

Megjegyzés. A kérdés feltehető úgy, hogy általában kérdezzük az impedancia függését ω körfrekvenciától. A számítást egyszerűsítheti az a körülmény, hogy párhuzamos rezgőkör a rezonanciafrekvencia alatt L/(1-ω2LC) induktivitáshoz, fölötte C(1-1/ω2LC) kapacitáshoz hasonlóan viselkedik. Soros rezgőkör a rezonanciafrekvencia alatt C/(1-ω2LC) kapacitáshoz, fölötte L(1-1/ω2LC) induktivitáshoz hasonlóan viselkedik. Ezekből az elemekből egyszerűen állítható össze a keresett kapcsolás impedancíája.
Az 1031. feladat kapcsolásának impedanciája mint a körfrekvencia függvénye:
X=1ωC1-3ω2LC+ω4L2C21-ω2LC.
Ábránk bal oldali rajza ezt a függést tünteti fel L=3,18 henry és C=3,18μF esetében.
 

 

A metszéspontok a gyökök:
ω12=ωr(±1+5)/2=ωr3±52,
ahol ωr=1/LC a rezonanciafrekvencia.
Ha az 1031. feladat rezgőköreit párhuzamosan kapcsoljuk, akkor az impedancia
X=ωLω2LC-11-3ω2LC+ω4L2C2.
Menetét ábránk jobb oldali rajza tünteti fel.
 

Gál Péter (Bp., Fazekas M. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján