Kezdőlap


Feladat:	1031. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Éber Nándor , Gál Péter
Füzet:	1972/szeptember, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rezgőkör, Vektordiagramok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/január: 1031. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Váltakozó áramú áramkörökben az impedancia vektorral jellemezhető. Mivel azonos feszültségre kapcsolt kondenzátoron és tekercsen az áram iránya ellentétes, az induktív és kapacitív ellenállások ellentétes irányú vektorok. A továbbiakban az induktív ellenállást pozitívnak, a kapacitív ellenállást negatívnak tekintjük.

A sorba kapcsolt soros és párhuzamos rezgőkör eredő impedanciája

\begin{matrix} Z = X_{L} + X_{C} + \frac{1}{1 / X_{L} + 1 / X_{C}}, ahol X_{L} = ω L, X_{C} = - \frac{1}{ω C} . \end{matrix}

Z = 0

-hoz tartozó frekvenciákat keressük, tehát

ω

-ra kell megoldanunk az

X_{L}

és

X_{C}

behelyettesítésével adódó

\begin{matrix} ω L - \frac{1}{ω C} + \frac{1}{1 / ω L - ω C} = 0 \end{matrix}

egyenletet. Rendezve

\begin{matrix} L^{2} C^{2} ω^{4} - 3 L C ω^{2} + 1 = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} L C ω^{2} = \frac{3 \pm \sqrt[]{5}}{2}, ω = \frac{1}{\sqrt[]{L C}} \sqrt[]{\frac{3 \pm \sqrt[]{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt[]{L C}} \frac{\sqrt[]{5} \pm 1}{2} . \end{matrix}

Tehát az a két frekvencia, melyen a rendszer ellenállása nulla

\begin{matrix} f_{1,2} = \frac{1}{\sqrt[]{L C}} \frac{\sqrt[]{5} \pm 1}{4 π} . \end{matrix}

Éber Nándor (Bp., Móricz Zs. Gimn., VI. o. t.)

Megjegyzés. A kérdés feltehető úgy, hogy általában kérdezzük az impedancia függését

ω

körfrekvenciától. A számítást egyszerűsítheti az a körülmény, hogy párhuzamos rezgőkör a rezonanciafrekvencia alatt

L / (1 - ω^{2} L C)

induktivitáshoz, fölötte

C (1 - 1 / ω^{2} L C)

kapacitáshoz hasonlóan viselkedik. Soros rezgőkör a rezonanciafrekvencia alatt

C / (1 - ω^{2} L C)

kapacitáshoz, fölötte

L (1 - 1 / ω^{2} L C)

induktivitáshoz hasonlóan viselkedik. Ezekből az elemekből egyszerűen állítható össze a keresett kapcsolás impedancíája.
Az 1031. feladat kapcsolásának impedanciája mint a körfrekvencia függvénye:

\begin{matrix} X = \frac{1}{ω C} \cdot \frac{1 - 3 ω^{2} L C + ω^{4} L^{2} C^{2}}{1 - ω^{2} L C} . \end{matrix}

Ábránk bal oldali rajza ezt a függést tünteti fel

L = 3, 18

henry és

C = 3, 18 μ F

esetében.

A metszéspontok a gyökök:

\begin{matrix} ω_{12} = ω_{r} \cdot (\pm 1 + \sqrt[]{5}) / 2 = ω_{r} \cdot \sqrt[]{\frac{3 \pm \sqrt[]{5}}{2}}, \end{matrix}

ahol

ω_{r} = 1 / \sqrt[]{L C}

a rezonanciafrekvencia.
Ha az 1031. feladat rezgőköreit párhuzamosan kapcsoljuk, akkor az impedancia

\begin{matrix} X = ω L \cdot \frac{ω^{2} L C - 1}{1 - 3 ω^{2} L C + ω^{4} L^{2} C^{2}} . \end{matrix}

Menetét ábránk jobb oldali rajza tünteti fel.

Gál Péter (Bp., Fazekas M. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján