Feladat: 1018. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kovács Imre 
Füzet: 1972/április, 187 - 188. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tömegpont egyensúlya, Lejtő, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/december: 1018. fizika feladat

α hajlásszögű lejtőn m tömegű tégla áll, melyre a lejtő és a vízszintes alapsík metszésvonalával párhuzamosan F erő hat. Mekkora F maximális értéke, amelynél a test még nem mozdul el, ha a lejtő és a tégla között a tapadási súrlódási tényező μ? Vizsgáljuk az általánosabb eseteket!
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A téglára a súlyerő, a lejtő K=mgcosα nagyságú nyomóereje és az adott F erő hat. E három erő eredőjének abszolút értéke:

Fe=(mgsinα)2+F2,
mivel az első két erő vektori összege lejtő irányú, nagysága: mgsinα. Nyugalmi helyzetben ezzel tart egyensúlyt a súrlódási erő, amelynek nagysága SμN, ahol N a felületre merőleges nyomóerő abszolút értéke. Az egyensúly feltétele: Fe=SμN, azaz
(mgsinα)2+F2μmgcosα, ahonnanFmgμ2cos2α-sin2α.


A maximális F erőt az egyenlőség határozza meg. A fentiekből az is látható, hogy a kívánt egyensúlyt megvalósító F létezéséhez szükséges feltétel: μtg α, azaz, hogy a tégla a külső erőtől függetlenül nem kezd el csúszni.
Általánosabb esetben hasson az F erő a lejtő síkjában, és legyen az esésvonallal bezárt szöge β (1. ábra).
 
 
1. ábra
 

A mozgatóerők eredője a cosinus tétel segítségével számítható:
Fe=F2+(mgsinα)2-2Fmgsinαcosα.
A felületeket összenyomó erő továbbra is N=mgcosα nagyságú. Az egyensúly feltétele: FeμN. Fe és N értékét behelyettesítve, négyzetreemeléssel kapjuk, hogy az egyensúly feltétele:
F2-2Fmgsinαcosβ+m2g2(sin2α-μ2cos2α)0.
A kapott egyenlőtlenség bal oldalán az F változó másodfokú függvénye áll, amelynek képe parabola, s a függvény grafikonja az
F1,2=mg[sinαcosβ±sin2αcos2β+(μ2cos2α-sin2α]
pontokban metszi az F tengelyt. Ezért az egyensúly feltétele:
mg[sinαcosβ-sin2αcos2β+(μ2cos2α-sin2α)]Fmg[sinαcosβ+sin2αcos2β+(μ2cos2α-sin2α)].


(Természetesen 0F.) Ahhoz, hogy ilyen F létezzék, az szükséges, hogy
sin2αcos2β+μ2cos2α-sin2α0, azazμtgα|sinβ|


legyen. A maximális erő
F=mg[sinαcosβ+sin2αcos2β+(μ2cos2α-sin2α)].

Tetszőleges P térbeli erőnél jelölje γ a lejtő síkja és az erő lejtőre eső vetülete, β a vetület és az esésvonal közti szöget (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Ilyen jelölések mellett a megoldás ugyanúgy adódik, mint az előző esetben, ha F a lejtő síkjába eső komponenssel egyenlő (F=Pcosγ), és a megváltozott N=mgcosα-Psinγ nyomóerővel számolunk.
 

Kovács Imre (Kaposvár, Ált. Gépip. Techn. és Szakközépisk., II. o. t.)