Kezdőlap


Feladat:	1018. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Imre
Füzet:	1972/április, 187 - 188. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegpont egyensúlya, Lejtő, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/december: 1018. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A téglára a súlyerő, a lejtő $K = m g cos α$ nagyságú nyomóereje és az adott $F$ erő hat. E három erő eredőjének abszolút értéke:

\begin{matrix} F_{e} = \sqrt[]{{(m g sin α)}^{2} + F^{2}}, \end{matrix}

mivel az első két erő vektori összege lejtő irányú, nagysága:

m g sin α

. Nyugalmi helyzetben ezzel tart egyensúlyt a súrlódási erő, amelynek nagysága

S \leq μ N

, ahol

N

a felületre merőleges nyomóerő abszolút értéke. Az egyensúly feltétele:

F_{e} = S \leq μ N

, azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{{(m g sin α)}^{2} + F^{2}} \leq μ m g cos α, ahonnan \\ F \leq m g \sqrt[]{μ^{2} cos^{2} α - sin^{2} α} . \end{matrix}

A maximális

F

erőt az egyenlőség határozza meg. A fentiekből az is látható, hogy a kívánt egyensúlyt megvalósító

F

létezéséhez szükséges feltétel:

μ \geq tg α

, azaz, hogy a tégla a külső erőtől függetlenül nem kezd el csúszni.
Általánosabb esetben hasson az

F

erő a lejtő síkjában, és legyen az esésvonallal bezárt szöge

β

(1. ábra).

1. ábra

A mozgatóerők eredője a cosinus tétel segítségével számítható:

\begin{matrix} F_{e} = \sqrt[]{F^{2} + {(m g sin α)}^{2} - 2 F m g sin α cos α} . \end{matrix}

A felületeket összenyomó erő továbbra is

N = m g cos α

nagyságú. Az egyensúly feltétele:

F_{e} \leq μ N

F_{e}

és

N

értékét behelyettesítve, négyzetreemeléssel kapjuk, hogy az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} F^{2} - 2 F m g sin α cos β + m^{2} g^{2} (sin^{2} α - μ^{2} cos^{2} α) \leq 0. \end{matrix}

A kapott egyenlőtlenség bal oldalán az

F

változó másodfokú függvénye áll, amelynek képe parabola, s a függvény grafikonja az

\begin{matrix} F_{1, 2} = m g [sin α cos β \pm \sqrt[]{sin^{2} α cos^{2} β + (μ^{2} cos^{2} α - sin^{2} α}] \end{matrix}

pontokban metszi az

F

tengelyt. Ezért az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} m g [sin α cos β - \sqrt[]{sin^{2} α cos^{2} β + (μ^{2} cos^{2} α - sin^{2} α)}] \leq \\ \leq F \leq m g [sin α cos β + \sqrt[]{sin^{2} α cos^{2} β + (μ^{2} cos^{2} α - sin^{2} α)}] . \end{matrix}

(Természetesen

0 \leq F

.) Ahhoz, hogy ilyen

F

létezzék, az szükséges, hogy

\begin{matrix} sin^{2} α cos^{2} β + μ^{2} cos^{2} α - sin^{2} α \geq 0, azaz \\ μ \geq tg α | sin β | \end{matrix}

legyen. A maximális erő

\begin{matrix} F = m g [sin α cos β + \sqrt[]{sin^{2} α cos^{2} β + (μ^{2} cos^{2} α - sin^{2} α)}] . \end{matrix}

Tetszőleges

P

térbeli erőnél jelölje

γ

a lejtő síkja és az erő lejtőre eső vetülete,

β

a vetület és az esésvonal közti szöget (2. ábra).

2. ábra

Ilyen jelölések mellett a megoldás ugyanúgy adódik, mint az előző esetben, ha

F

a lejtő síkjába eső komponenssel egyenlő

(F = P cos γ)

, és a megváltozott

N = m g cos α - P sin γ

nyomóerővel számolunk.

Kovács Imre (Kaposvár, Ált. Gépip. Techn. és Szakközépisk., II. o. t.)