Feladat: 1014. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gulyás Ferenc ,  Lukács Gábor ,  Márkus L. ,  Puszta S. ,  Varga A. 
Füzet: 1972/április, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb merev test térbeli mozgása, Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1014. fizika feladat

Egy l hosszúságú, m tömegű rudat térbeli csukló körül megforgatunk úgy, hogy a rúd α nyílásszögű, függőleges tengelyű kúpot írjon le. Mekkora a periódusidő és a csuklóban ébredő erő?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg a mozgást a rúddal együtt forgó koordinátarendszerből! Ebben a rendszerben a rúd egyensúlyban van, tehát a ráható erők eredőjének és a forgatónyomatékok összegének nullának kell lennie.
Határozzuk meg a fellépő erők nagyságát és hatásvonalát! A rúd súlyát a súlypontban ható mg nagyságú erővel vehetjük figyelembe. A csuklóban ébredő erő iránya és nagysága ismeretlen, hatásvonala azonban át kell, hogy menjen a csuklón, mivel erre a pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka nulla. Ezt az erőt az 1. ábrán látható K1 és K2 összetevőivel helyettesíthetjük.

 
 
1. ábra
 

Hátra van még a centrifugális erő meghatározása. Bontsuk fel a rudat egyenlő hosszúságú kis darabokra. A csuklótól x távolságra elhelyezkedő Δm tömegű rúddarabra
ΔF=Δmω2xsin(α/2)
nagyságú centrifugális erő hat. Mivel ΔF egyenesen arányos x-szel, egyenletesen növekvő nagyságú párhuzamos erők eredőjét kell meghatároznunk. Az eredő nagysága nyilván az átlagos x-szel számolt
F=m(l/2)ω2sin(α/2).
A hatásvonal azonban nem a súlyponton, hanem a rúd alsó harmadolópontján megy keresztül. Ezt azért állíthatjuk, mert a szóban forgó lineárisan növekvő párhuzamos erőket egy ‐ azonos szélességű darabokra felszeletelt ‐ derékszögű háromszög részeire ható súlyerőknek tekinthetjük, amelyeknek eredője a háromszög súlypontján megy keresztül (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A fentiek alapján az erők és a forgatónyomatékok egyensúlyát az
m(l/2)ω2sin(α/2)-K2=0,mg-K1=0,(2/3)lm(l/2)sin(α/2)cos(α/2)-mg(l/2)sin(α/2)=0


egyenletrendszer írja le, melynek megoldása
ω=3g2lcos(a/2).
A keringési idő:
T=2π2lcos(α/2)3g.
A csuklóban ható erő:
K=K12+K22=mg1+916tg2α2.

Lukács Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)

és Gulyás Ferenc (Csongrád, Batsányi J. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzések. 1. Több megoldó egymásra merőlegesen lengő síkingák mozgásából próbálta összetenni a tényleges körmozgást. A rúd végpontja egy gömb felületén mozoghat, ez pedig csak nagyon kis α értékeknél helyettesíthető körlappal. Így érthető, hogy az l hosszúságú rúd által alkotott fizikai inga T=2π2l/3g lengésideje is csak az α0 határesetben egyezik meg a fenti feladat megoldásával.
2. A megoldók többsége a centrifugális erők eredőjét a súlypontba helyezte, és így a hibás T=2πlcos(α/2)2g eredményt kapta.
 

3. A végeredményből látszik, hogy a csuklóban ébredő erő nem rúdirányú, hanem a súlyerő és a centrifugális erő hatásvonalának A metszéspontján megy keresztül.