Kezdőlap


Feladat:	1014. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gulyás Ferenc , Lukács Gábor , Márkus L. , Puszta S. , Varga A.
Füzet:	1972/április, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test térbeli mozgása, Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: 1014. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg a mozgást a rúddal együtt forgó koordinátarendszerből! Ebben a rendszerben a rúd egyensúlyban van, tehát a ráható erők eredőjének és a forgatónyomatékok összegének nullának kell lennie.
Határozzuk meg a fellépő erők nagyságát és hatásvonalát! A rúd súlyát a súlypontban ható $m g$ nagyságú erővel vehetjük figyelembe. A csuklóban ébredő erő iránya és nagysága ismeretlen, hatásvonala azonban át kell, hogy menjen a csuklón, mivel erre a pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka nulla. Ezt az erőt az 1. ábrán látható $K_{1}$ és $K_{2}$ összetevőivel helyettesíthetjük.

1. ábra

Hátra van még a centrifugális erő meghatározása. Bontsuk fel a rudat egyenlő hosszúságú kis darabokra. A csuklótól

x

távolságra elhelyezkedő

Δ m

tömegű rúddarabra

\begin{matrix} Δ F = Δ m \cdot ω^{2} \cdot x sin (α / 2) \end{matrix}

nagyságú centrifugális erő hat. Mivel

Δ F

egyenesen arányos

x

-szel, egyenletesen növekvő nagyságú párhuzamos erők eredőjét kell meghatároznunk. Az eredő nagysága nyilván az átlagos

x

-szel számolt

\begin{matrix} F = m \cdot (l / 2) \cdot ω^{2} sin (α / 2) . \end{matrix}

A hatásvonal azonban nem a súlyponton, hanem a rúd alsó harmadolópontján megy keresztül. Ezt azért állíthatjuk, mert a szóban forgó lineárisan növekvő párhuzamos erőket egy ‐ azonos szélességű darabokra felszeletelt ‐ derékszögű háromszög részeire ható súlyerőknek tekinthetjük, amelyeknek eredője a háromszög súlypontján megy keresztül (2. ábra).

2. ábra

A fentiek alapján az erők és a forgatónyomatékok egyensúlyát az

\begin{matrix} m (l / 2) ω^{2} sin (α / 2) - K_{2} = 0, \\ m g - K_{1} = 0, \\ (2 / 3) l m (l / 2) sin (α / 2) cos (α / 2) - m g (l / 2) sin (α / 2) = 0 \end{matrix}

egyenletrendszer írja le, melynek megoldása

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{3 g}{2 l cos (a / 2)}} . \end{matrix}

A keringési idő:

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{2 l cos (α / 2)}{3 g}} . \end{matrix}

A csuklóban ható erő:

\begin{matrix} K = \sqrt[]{K_{1}^{2} + K_{2}^{2}} = m g \sqrt[]{1 + \frac{9}{16} {tg}^{2} \frac{α}{2}} . \end{matrix}

Lukács Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)

és Gulyás Ferenc (Csongrád, Batsányi J. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Több megoldó egymásra merőlegesen lengő síkingák mozgásából próbálta összetenni a tényleges körmozgást. A rúd végpontja egy gömb felületén mozoghat, ez pedig csak nagyon kis

α

értékeknél helyettesíthető körlappal. Így érthető, hogy az

l

hosszúságú rúd által alkotott fizikai inga

T = 2 π \sqrt[]{2 l / 3 g}

lengésideje is csak az

α \approx 0

határesetben egyezik meg a fenti feladat megoldásával.
2. A megoldók többsége a centrifugális erők eredőjét a súlypontba helyezte, és így a hibás

T = 2 π \sqrt[]{\frac{l cos (α / 2)}{2 g}}

eredményt kapta.

3. A végeredményből látszik, hogy a csuklóban ébredő erő nem rúdirányú, hanem a súlyerő és a centrifugális erő hatásvonalának

A

metszéspontján megy keresztül.