Feladat: 1012. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bari Ferenc ,  Gulyás Ferenc 
Füzet: 1972/április, 181. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1012. fizika feladat

R sugarú henger tömegeloszlása nem egyenletes, ezért a súlypontja a tengelyétől d távolságra van. Hogyan kell a hengert α szögű, érdes lejtőre helyezni, hogy azon forgás nélkül csússzék? Legfeljebb mekkora lehet a μ súrlódási együttható értéke, hogy a feladat megoldható legyen? (Lásd a 962. feladat megoldását!)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a henger súlypontja S, a geometriai középpontja O, a lejtővel érintkező pontja pedig T. Jellemezzük a henger helyzetét az SOT=φ szöggel! (L. az ábrát!)

 

 

Mivel a test általános esetben gyorsuló mozgást is végezhet, a forgatónyomaték‐egyenletet csak a súlypontra írhatjuk fel, tehát a gördülés nélküli csúszás feltétele Mi=0. A G súlyerő hatásvonala átmegy a súlyponton, tehát a feltétel szerint
Ndsinφ-F s(R-dcosφ)=0.
Csúszás esetén F s=Nμ, tehát
dsinφ-μ(R-dcosφ)=0,ebből(μ2+1)d2cos2φ-2μ2Rdcosφ+μ2R2-d2=0.


Az egyenletet cosφ-re megoldva kapjuk, hogy
cosφ=μ2R±μ4R2-(μ2+1)(μ2R2-d2)d(μ2+1);

A feladat megoldhatóságához μ-nek két feltételt kell kielégítenie:
1.
μ4R2-(μ2+1)(μ2R2-d2)0,μ2d2R2-d2.
(Közben meggyőződhetünk arról, hogy a |cosφ|1 feltétel is teljesül: a felfelé nyitott (μ2+1)d2x2-2μ2Rdx+μ2R2-d2 parabolának az x=±1 helyeken az értéke μ2(Rd)2>0, tehát a nullhelyei csak a ±1 között lehetnek.)
2. Annak, hogy egy test az α szögű lejtőn csússzék és ne álljon meg, a feltétele, hogy Gμtg α.
Tehát ha μ egyidejűleg mindkét feltételt kielégíti, a feladat megoldható.
 

Gulyás Ferenc (Csongrád, Batsányi J. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Sok megoldó úgy okoskodott, hogy ha a henger nem gördül, akkor M=0 bármely pontjára. Ez azonban azt jelentené, hogy F=0 (l. 1011. feladatot), azaz a henger egyenletes sebességgel csúszna a lejtőn. Ez viszont egy igen speciális megoldás, és csak a μ=tg α esetben valósítható meg. Gyorsuló mozgás esetén a forgatónyomaték‐egyenletet csak a súlypontra vagy a pillanatnyi forgástengelyre írhatjuk fel. Példánkban a pillanatnyi forgástengely a végtelenben van, tehát csak egy lehetőségünk marad, a súlypont.