Kezdőlap


Feladat:	1012. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bari Ferenc , Gulyás Ferenc
Füzet:	1972/április, 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: 1012. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a henger súlypontja $S$ , a geometriai középpontja $O$ , a lejtővel érintkező pontja pedig $T$ . Jellemezzük a henger helyzetét az $S O T ∢ = φ$ szöggel! (L. az ábrát!)

Mivel a test általános esetben gyorsuló mozgást is végezhet, a forgatónyomaték‐egyenletet csak a súlypontra írhatjuk fel, tehát a gördülés nélküli csúszás feltétele

\sum M_{i} = 0

. A

G

súlyerő hatásvonala átmegy a súlyponton, tehát a feltétel szerint

\begin{matrix} N \cdot d \cdot sin φ - F_{s} (R - d \cdot cos φ) = 0. \end{matrix}

Csúszás esetén

F_{s} = N \cdot μ

, tehát

\begin{matrix} d \cdot sin φ - μ (R - d \cdot cos φ) = 0, ebből \\ (μ^{2} + 1) d^{2} \cdot cos^{2} φ - 2 μ^{2} R \cdot d \cdot cos φ + μ^{2} R^{2} - d^{2} = 0. \end{matrix}

Az egyenletet

cos φ

-re megoldva kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos φ = \frac{μ^{2} R \pm \sqrt[]{μ^{4} R^{2} - (μ^{2} + 1) (μ^{2} R^{2} - d^{2})}}{d \cdot (μ^{2} + 1)}; \end{matrix}

A feladat megoldhatóságához

μ

-nek két feltételt kell kielégítenie:
1.

\begin{matrix} μ^{4} R^{2} - ( & μ^{2} + 1) (μ^{2} R^{2} - d^{2}) \geq 0, \\ μ^{2} \leq \frac{d^{2}}{R^{2} - d^{2}} . \end{matrix}

(Közben meggyőződhetünk arról, hogy a

| cos φ | \leq 1

feltétel is teljesül: a felfelé nyitott

(μ^{2} + 1) d^{2} x^{2} - 2 μ^{2} R d x + μ^{2} R^{2} - d^{2}

parabolának az

x = \pm 1

helyeken az értéke

μ^{2} {(R \mp d)}^{2} > 0

, tehát a nullhelyei csak a

\pm 1

között lehetnek.)
2. Annak, hogy egy test az

α

szögű lejtőn csússzék és ne álljon meg, a feltétele, hogy

G μ \leq tg α

.
Tehát ha

μ

egyidejűleg mindkét feltételt kielégíti, a feladat megoldható.

Gulyás Ferenc (Csongrád, Batsányi J. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Sok megoldó úgy okoskodott, hogy ha a henger nem gördül, akkor

\sum M = 0

bármely pontjára. Ez azonban azt jelentené, hogy

\sum F = 0

(l. 1011. feladatot), azaz a henger egyenletes sebességgel csúszna a lejtőn. Ez viszont egy igen speciális megoldás, és csak a

μ = tg α

esetben valósítható meg. Gyorsuló mozgás esetén a forgatónyomaték‐egyenletet csak a súlypontra vagy a pillanatnyi forgástengelyre írhatjuk fel. Példánkban a pillanatnyi forgástengely a végtelenben van, tehát csak egy lehetőségünk marad, a súlypont.