Feladat: 966. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Éber Nándor 
Füzet: 1971/november, 181 - 182. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontszerű töltés térerőssége, Coulomb-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/február: 966. fizika feladat

A Q1=-110-8 C és Q2=410-8 C pontszerű töltések egymástól d=1 m távolságra vannak.
a) Mely pontban nulla a térerősség?
b) Milyen felületen helyezkednek el a nulla potenciálú pontok?
c) Hogyan változik a potenciál és a térerősség a két töltést összekötő szakasz felezőpontjában álló merőleges síkban?
d) Mi a válasz az előző kérdésre, ha Q1=Q2=-110-8 C?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1) Két ponttöltés erőterének térerősségét a két töltéshez tartozó erőtér térerősségének vektori összegezésével kaphatjuk meg. A térerősség csak akkor lehet 0, ha a két töltéstől származó térerősség egyező nagyságú és ellentétes irányú. Mivel a Coulomb erő a töltést a ponttal összekötő egyenes mentén hat, ez csak a két töltést összekötő egyenesen, a két töltés ellenkező előjele miatt az összekötő szakaszon kívül, a kisebbikhez közelebb teljesülhet.

 

 

Ha r a 0 térerősségű pont Q1 től mért távolsága, akkor
kQ1Q2+kQ2(r+d)2=0,innen(Q1+Q2)r2+2Q1rd+Q1d2=0,r=-Q1±-Q1Q2Q1+Q2d.


Numerikusan r1=-1/3 m, ill. r2=1 m. Feltételünknek r=1 m felel meg. Azonos Q1=Q20 töltések esetén a térerősség ott 0, ahol Qr2-Q(d-r)2=0, ahonnan r=d/2=0,5 m.
b) Ponttöltés potenciálja tőle r távolságban kQ/r, több töltésre szuperponálódik, így a potenciál ott 0, ahol
Q1r1+Q2r2=0,r1r2=-Q1Q2=14,
ahol r1, ill. r2 a Q1, ill. Q2-től mért távolság. Ez a feltétel egy Apollóniusz-gömböt határoz meg, mely a két töltést összekötő egyenest Q1-től kifelé 1/3 m, Q2 felé 1/5 m távolságra metszi, így középpontja Q1-től kifelé (13-15)12m= =115m-re van, sugara (13+15)12m=415 m. (Az egyenesen levő pontok a)-hoz hasonlóan kaphatók.)
Ha Q1=Q2, akkor Q1/r1+Q2/r2 mindkét tagja azonos előjelű, tehát sehol nem lehet 0.
c) A probléma hengerszimmetriája miatt elegendő a potenciál és a térerősség változását egy, a két töltésen átmenő síkban vizsgálni.
A potenciál additivitása miatt a felező merőlegesen az összekötő egyenestől x távolságra a potenciál
U=k(Q1+Q2)d2/4+x2=2k(Q1+Q2)dcosα.
Különböző töltések esetén U=9109Nm2/C2310-8C2cosα=540Vcosα, egyenlő töltések esetén U=-9109Nm2/C2210-8C2cosα=-360Vcosα.
Az eredő térerősség kiszámításához bontsuk föl a térerősséget derékszögű komponensekre. Ekkor
Ex=E2cosα-E1cosα=k(Q2-Q1)r2cosα==k(Q2-Q1)4d2cos3α=9109Nm2C2(4+1)10-8C4cos3α1m2=1800V/mcos3α,Ey=E1sinα+E2sinα=k(Q1+Q2)r2sinα=k(Q1+Q2)4d2cos2αsinα==9109Nm2C2(4-1)10-8C4cos2αsinα1m2=1080V/mcos2αsinα


Így a térerősség abszolút értéke
E=Ex2+Ey2=4kd2cos2α(Q2-Q1)2cos2α+(Q1+Q2)2sin2α==(4k/d2)cos2αQ12+Q22-2Q1Q2cos2α=360V/mcos2α17+8cos2α,


irányszögének tangense
tgβ=EyEx=Q2+Q1Q2-Q1tgα=0,6tgα.

Ha Q1=Q2=-10-8C, akkor Ex=0, Ey=E=8kQd2cos2αsinα=-720V/mcos2αsinα,
vagyis a térerősség a Q1Q2 szakasz felezőpontja felé irányul.
 

Éber Nándor (Bp., Móricz Zs. Gimn., III. o. t.)