Feladat: 902. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gábor ,  Sailer Kornél ,  Tél Katalin 
Füzet: 1971/január, 36 - 38. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabadesés, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Energiamegmaradás, Rugalmas energia, Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/március: 902. fizika feladat

Függőleges helyzetben alátámasztott k direkciós erejű súlytalan rugóra annak szabad végétől mért h magasságból m tömegű testet ejtünk. Mekkora v0 kezdősebességgel kell a testet elindítanunk, hogy a rugó h0 értékkel összenyomódjék? (D=2 kp/cm, m=40 dkg, h=1,8 m, h0=3,5 cm, g=10 m/s2.) Hogyan módosul a megoldás, ha a rugó felső végén M tömegű, rugalmatlan teher van rögzítve (M=50 dkg)?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha a rugó felső végén nincs M tömeg, akkor az egész folyamatra alkalmazhatjuk a mechanikai energia megmaradásának tételét. Mivel egy, nyugalmi helyzetéhez viszonyítva h0-lal megnyújtott vagy összenyomott rugó energiája (1/2)Dh02, azért

(1/2)mv02+mg(h+h0)=(1/2)Dh02,
tehát
v0=Dmh02-2g(h+h0)
függőleges kezdősebességgel kell elhajítani m-et, hogy a rugó h0 értékkel nyomja össze. Numerikus adatokkal v012,6 m/s.
 

 

Amennyiben a rugón M tömegű rugalmatlan teher nyugszik, akkor az m tömeg ezzel rugalmatlanul ütközik, tehát mechanikai energia hővé alakul. A mechanikai energia megmaradásának tételét így nem alkalmazhatjuk az egész folyamatra. Az ütközésig terjedő folyamatra
(1/2)mv02+mgh=(1/2)mv2,v=v02+2gh,
ahol v a test ütközés előtti sebessége.
m tömeg M-mel rugalmatlanul ütközik, az ütközés utáni közös c sebesség az impulzusmegmaradás tételéből
c=mvm+M.

Ütközés után a tömegek mozgási energiája Em=(1/2)(m+M)c2, a helyzeti energia megváltozása Eh=(m+M)gh0. A rugó már az ütközés pillanatában is rendelkezett helyzeti energiával, mivel M súlyereje x1=Mg/D szakasszal nyomta össze. Így energiájának megváltozása Er=(1/2)D(x1+h0)2-(1/2)Dx12.
A mechanikai energia megmaradásának tétele
Em+Eh=Er,(1/2)(m+M)c2+(m+M)gh0=(1/2)D(x1+h0)2-(1/2)Dx12.


Behelyettesítve c és x1 értékét
12m2m+M(v02+2gh)+(m+M)gh0=12D[(MgD+h0)2-(MgD)2].
Innen
v0=Dm+Mm2h02-2m+Mm2gh0-2gh.
Numerikus értékekkel v020,1 m/s.
v0 iránya egyaránt mutathat felfelé és lefelé, hiszen felfelé dobva el az m tömeget az eldobás helyén lefelé is v0 sebeséggel halad keresztül.
v0 kifejezésének csak akkor van értelme, ha a négyzetgyök alatt nemnegatív szám áll, vagyis
Dm+Mm2h02-2m+Mmgh0-2gh0.
Ha ez teljesül, akkor minden v0 esetén a rugó h0-nál jobban összenyomódik. Az előbbi egyenlőtlenségből a rugó minimáliss összenyomódása
h0(g+g2+2Dghm+M)mD0,06m.

Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., IV. o. t.)

 

II. megoldás. Foglalkozzunk az általánosabb esettel, az M=0-nak megfelelő speciális eset szolgáltatja az első eset megoldását.
Az m tömeg ütközés előtti sebessége a v=v0+gt és h=v0t+(g/2)t2 összefüggésekből t kiküszöbölésével v=v02+2gh. m ekkora sebességgel rugalmatlanul ütközik az álló M-be, így ütközés utáni sebességük
c=mm+Mv02+2gh.

Az ütközés után a mozgás egy harmonikus rezgőmozgás részének tekinthető, melynek középpontja az ütközés helye alatt x0=mg/D távolsággal van, hiszen m súlyereje meg ennyivel nyomja össze a rugót. A rezgés amplitúdója A= =h0-x0, körfrekvenciája ω=Dm+M. A rezgés kitérése és sebessége idő függvényében
x=Asin(ωt+φ),v=Aωcos(ωt+φ).
Az m tömeggel való ütközés helyén
x0=Asin(ωt0+φ),c=Aωcos(ωt0+φ),
innen
sin(ωt0+φ)=x0/A,cos(ωt0+φ)=c/Aω.
Mivel sin2α+cos2α=1, ezért
(x0A)2+(cAω)2=1,
ahonnan
c2=ω2(A2-x02)=Dm+M[(h0-mgD)2-(mgD)2].
Behelyettesítve c értékét
m2(m+M)2(v02+2gh)=Dm+M[(h0-mgD)2-(mgD)2],
ebből
v0=Dm+Mm2h02-2m+Mmgh0-2gh,
ami megegyezik az első megoldás eredményével.
 

Tél Katalin (Bp., Apáczai Csere J. Gimn., III. o. t.)