Feladat: 831. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fejes Gábor ,  Harmat Péter 
Füzet: 1970/január, 41 - 42. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nyomóerő, kötélerő, Egyéb kényszermozgás, Energia homogén gravitációs mezőben, Munkatétel, Perdületmegmaradás törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/március: 831. fizika feladat

Egy r1 minimális és r2 maximális sugarú, függőleges tengelyű, felfelé szélesedő, h magasságú egyenes csonkakúp alakú csőbe alul, vízszintesen, az alapkörre érintőlegesen belövünk egy pontszerű golyót. Mekkora legyen a golyó sebessége, hogy az felül kirepüljön? Diszkutáljuk a feladatot! (A súrlódás elhanyagolható.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük számba a golyóra ható erőket! Az egyik a lefelé mutató súlyerő, a másik a kúppalástra merőleges kényszererő. Ezen erők forgatónyomatéka a kúp tengelyére nézve zérus, hiszen az egyik párhuzamos vele, a másiknak pedig a hatásvonala átmegy rajta. Ezért a tengelyre vett impulzusmomentum a mozgás során nem változik, azaz mv1r1=mv2r2, ahol v1, v2 a vízszintes irányú sebességkomponensek a mozgás elején és a végén. Mivel a kényszererők munkája zérus, felírhatunk egy egyenletet az energiamegmaradásra is:

mv12/2=mgh+mv22/2+mw22/2,
ahol ω2 a kúp alkotója irányába mutató sebességkomponens (a belövéskor w1=0). A fenti két egyenletből a
v12=(2gh+u22)/(1-r1/r2)2
eredményt kapjuk.
Értelmezzük az eredményt! Nézzük meg, mi annak a feltétele, hogy a belövés után a golyó vízszintes pályán mozogjon. Ez akkor áll elő, ha a centripetális ellenerő és a súlyerő eredője merőleges a kúppalástra, azaz
mv12/r1=mg  ctg  α=mhg/(r2-r1),  ahonnan  v12=r1g  ctg  α.
Ha a sebesség ennél nagyobb, akkor a golyó felfelé mutató w-vel, ha kisebb, lefelé mutató w-vel nagyobb, ill. kisebb sugarú pályára tér át (spirális pályán fog mozogni). Ha felfelé indul el, akkor az előbbi eredmény szerint ahhoz, hogy a golyó h magasságban kirepülhessen a csonkakúpból, 2gh1-(r1r2)2-nél nagyobb v1 vízszintes sebességgel kell belőni. Ha viszont a felső szélen lőjük be, akkor -2gh1-(r2r1)2-nél kisebb v1 vízszintes sebességgel kell belőni ahhoz, hogy alul elhagyhassa a csonkakúpot.
 

Fejes Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)

Harmat Péter (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn., III. o. t.)