Kezdőlap


Feladat:	831. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fejes Gábor , Harmat Péter
Füzet:	1970/január, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Egyéb kényszermozgás, Energia homogén gravitációs mezőben, Munkatétel, Perdületmegmaradás törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: 831. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük számba a golyóra ható erőket! Az egyik a lefelé mutató súlyerő, a másik a kúppalástra merőleges kényszererő. Ezen erők forgatónyomatéka a kúp tengelyére nézve zérus, hiszen az egyik párhuzamos vele, a másiknak pedig a hatásvonala átmegy rajta. Ezért a tengelyre vett impulzusmomentum a mozgás során nem változik, azaz $m v_{1} r_{1} = m v_{2} r_{2}$ , ahol $v_{1}$ , $v_{2}$ a vízszintes irányú sebességkomponensek a mozgás elején és a végén. Mivel a kényszererők munkája zérus, felírhatunk egy egyenletet az energiamegmaradásra is:

\begin{matrix} m v_{1}^{2} / 2 = m g h + m v_{2}^{2} / 2 + m w_{2}^{2} / 2, \end{matrix}

ahol

ω_{2}

a kúp alkotója irányába mutató sebességkomponens (a belövéskor

w_{1} = 0

). A fenti két egyenletből a

\begin{matrix} v_{1}^{2} = (2 g h + w_{2}^{2}) / {(1 - r_{1} / r_{2})}^{2} \end{matrix}

eredményt kapjuk.
Értelmezzük az eredményt! Nézzük meg, mi annak a feltétele, hogy a belövés után a golyó vízszintes pályán mozogjon. Ez akkor áll elő, ha a centripetális ellenerő és a súlyerő eredője merőleges a kúppalástra, azaz

\begin{matrix} m v_{1}^{2} / r_{1} = m g \cdot ctg α = m h g / (r_{2} - r_{1}), ahonnan v_{1}^{2} = r_{1} \cdot g \cdot ctg α . \end{matrix}

Ha a sebesség ennél nagyobb, akkor a golyó felfelé mutató

w

-vel, ha kisebb, lefelé mutató

w

-vel nagyobb, ill. kisebb sugarú pályára tér át (spirális pályán fog mozogni). Ha felfelé indul el, akkor az előbbi eredmény szerint ahhoz, hogy a golyó

h

magasságban kirepülhessen a csonkakúpból,

\sqrt[]{\frac{2 g h}{1 - {(\frac{r_{1}}{r_{2}})}^{2}}}

-nél nagyobb

v_{1}

vízszintes sebességgel kell belőni. Ha viszont a felső szélen lőjük be, akkor

\sqrt[]{\frac{- 2 g h}{1 - {(\frac{r_{2}}{r_{1}})}^{2}}}

-nél kisebb

v_{1}

vízszintes sebességgel kell belőni ahhoz, hogy alul elhagyhassa a csonkakúpot.

Fejes Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)

Harmat Péter (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn., III. o. t.)