Kezdőlap


Feladat:	806. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Bálványos Zoltán , Görög Imre , Herendi Ágnes , Hordósy Gábor , László István , Maróti Péter , Spitzer József , Tél Tamás , Végh András
Füzet:	1969/szeptember, 43 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Kepler I. törvénye, Kepler III. törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 806. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szimmetria miatt a testek a háromszög súlyvonalain mozognak, minden időpillanatban egy szabályos háromszög csúcsaiban helyezkednek el és a háromszög középpontjában találkoznak.

Ha a testek távolsága

x

(1. ábra), akkor az

A

testre a másik kettő

F = f m^{2} / x^{2}

nagyságú gravitációs vonzóerővel hat. Ezek vektori összege a középpont felé mutat és nagysága

F' = \sqrt[]{3} F

. Ez az erő a középpontból mért

r_{0} = x / \sqrt[]{3}

távolsággal kifejezve

\begin{matrix} F' = f \frac{m^{2}}{\sqrt[]{3 r_{0}^{2}}} . \end{matrix}

Bevezetve az

M = m / \sqrt[]{3}

jelölést,

F' = f \frac{m M}{r_{0}^{2}}

. Látható, hogy az

A

testre ható erő helyettesíthető a középpontban rögzített

M

tömegű test gravitációs vonzóerejével. Kepler I. törvényéből tudjuk, hogy a pálya általában ellipszis, jelen esetben azonban a nulla kezdősebesség miatt egyenes. Ez olyan ellipszisnek tekinthető, melynek kistengelye elhanyagolhatóan rövid a nagytengelyhez képest. Az indítás pillanatában a középponttól mért távolság

a / \sqrt[]{3}

, így az ellipszis félnagytengelye

a / (2 \sqrt[]{3})

. A találkozásig eltelt idő a keringési idő fele, Kepler III. törvénye alapján csak a nagytengely hosszától függ. Abban a speciális esetben, mikor a pálya

R = \frac{a}{2 \sqrt[]{3}}

sugarú kör, a keringési időt egyszerűen meghatározhatjuk.

ω

szögsebességnél a centripetális gyorsulás

R ω^{2}

, ezt az

F'

gravitációs erő hozza létre, tehát

\begin{matrix} f \frac{m M}{R^{2}} = m R ω^{2} . \end{matrix}

Innen

ω = 2 π / T = \sqrt[]{\frac{f M}{R^{3}}}

M

és

R

értelmezésére szolgáló összefüggések felhasználásával

\begin{matrix} \frac{T}{2} = π \sqrt[]{\frac{a^{3}}{24 f m}} . \end{matrix}

A számításnál a testeket pontszerűnek tekintettük és nem vettük figyelembe, hogy csak

2 r

távolságra közelíthetik meg egymást. Ez azonban a találkozásig eltelt időt nem befolyásolja lényegesen, mert a numerikus adatok szerint

r ≪ a

.
A testek sebességét a találkozás pillanatában az energiatétel segítségével határozhatjuk meg. Egymástól

x

távolságban levő, egyenként

m

tömegű testek a gravitációs vonzóerő miatt

- f m^{2} / x

helyzeti energiával rendelkeznek. A negatív előjel arra utal, hogy kisebb távolsághoz kisebb energia tartozik. (A gravitációs potenciálról bővebben a K. M. L. XXIV. kötet 233. old. Kovács Mihály: Erőterek szemléletes ábrázolása c. cikkében olvashatunk.) Induláskor a testek összenergiája (a helyzeti energiát páronként számolva)

E_{1} = - 3 f m \frac{m^{2}}{a}

. A találkozás pillanatában az összes energia

E_{2} = 3 \frac{m v^{2}}{2} - 3 f \frac{m^{2}}{2 r}

ahol

v

a testek sebessége. Az energia-tétel alapján

E_{1} = E_{2}

. Rendezés után

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 f m (\frac{1}{2 r} - \frac{1}{a}) .} \end{matrix}

(1)

r

lényegesen kisebb, mint

a

, akkor

1 / 2 r

mellett

1 / a

elhanyagolható, és (1) így alakul:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{f m}{r}} . \end{matrix}

Ha az ütközés tökéletesen rugalmas, akkor a testek sebességcsökkenés nélkül pattannak vissza, és mozgásuk a visszafelé játszott filmhez hasonlóan a korábbi mozgás fordítottja lesz. Így az indulás után

T

idővel ismét a kiindulási helyen lesznek, majd további

T / 2

idő elteltével megint a középpontban találkoznak.
Numerikus adatokkal, az

f = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N m^{2}}{k g^{2}}

érték felhasználásával.

\begin{matrix} T / 2 = 1, 1. 10^{6} s = 12 nap 20 óra, \\ v = 1, 05 \cdot 10^{- 4} m/s = 0, 105 mm/s . \end{matrix}

László István (Győr, Czuczor Gergely Gimn., IV. o. t. )

és Spitzer József (Bp., Vörösmarty M. Gimn. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A testek kezdetben nyugalomban voltak, így a rendszer súlypontja is állt. Külső erő hatása nélkül a súlypont a mozgás során végig mozdulatlan, így a találkozás helye csak a súlypont lehet.

Görög Imre (Bp., Kaffka M. Gimn., IV. o. t.)

2. Úgy látszik, a golyók nem földi anyagból vannak, hiszen a numerikus adatokat használva sűrűségükre

44, 2 {kg/dm}^{3}

-t nyerünk.

Bálványos Zoltán (Makó, József A. Gimn., IV. o. t.)