Feladat: 806. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bajmóczy Ervin ,  Bálványos Zoltán ,  Görög Imre ,  Herendi Ágnes ,  Hordósy Gábor ,  László István ,  Maróti Péter ,  Spitzer József ,  Tél Tamás ,  Végh András 
Füzet: 1969/szeptember, 43 - 45. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Kepler I. törvénye, Kepler III. törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/december: 806. fizika feladat

Külső erőktől mentes térben a oldalú szabályos háromszög csúcsaiba m tömegű testeket helyezünk. A testek a gravitációs vonzás következtében egymás felé fognak mozogni. Hol és mikor találkoznak? Mekkora lesz a sebességük a találkozás pillanatában? Milyen messze lesznek egymástól az indulástól a találkozásig eltelt idő háromszorosa múlva abszolút rugalmas ütközés esetén? (Felvehető adatok: m=5 kg, a=10 m, a gömb alakú testek sugara r=3 cm.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szimmetria miatt a testek a háromszög súlyvonalain mozognak, minden időpillanatban egy szabályos háromszög csúcsaiban helyezkednek el és a háromszög középpontjában találkoznak.

 

 

Ha a testek távolsága x (1. ábra), akkor az A testre a másik kettő F=fm2/x2 nagyságú gravitációs vonzóerővel hat. Ezek vektori összege a középpont felé mutat és nagysága F'=3F. Ez az erő a középpontból mért r0=x/3 távolsággal kifejezve
F'=fm23r02.
Bevezetve az M=m/3 jelölést, F'=fmMr02. Látható, hogy az A testre ható erő helyettesíthető a középpontban rögzített M tömegű test gravitációs vonzóerejével. Kepler I. törvényéből tudjuk, hogy a pálya általában ellipszis, jelen esetben azonban a nulla kezdősebesség miatt egyenes. Ez olyan ellipszisnek tekinthető, melynek kistengelye elhanyagolhatóan rövid a nagytengelyhez képest. Az indítás pillanatában a középponttól mért távolság a/3, így az ellipszis félnagytengelye a/(23). A találkozásig eltelt idő a keringési idő fele, Kepler III. törvénye alapján csak a nagytengely hosszától függ. Abban a speciális esetben, mikor a pálya R=a23 sugarú kör, a keringési időt egyszerűen meghatározhatjuk. ω szögsebességnél a centripetális gyorsulás Rω2, ezt az F' gravitációs erő hozza létre, tehát
fmMR2=mRω2.
Innen ω=2π/T=fMR3. M és R értelmezésére szolgáló összefüggések felhasználásával
T2=πa324fm.
A számításnál a testeket pontszerűnek tekintettük és nem vettük figyelembe, hogy csak 2r távolságra közelíthetik meg egymást. Ez azonban a találkozásig eltelt időt nem befolyásolja lényegesen, mert a numerikus adatok szerint ra.
A testek sebességét a találkozás pillanatában az energiatétel segítségével határozhatjuk meg. Egymástól x távolságban levő, egyenként m tömegű testek a gravitációs vonzóerő miatt -fm2/x helyzeti energiával rendelkeznek. A negatív előjel arra utal, hogy kisebb távolsághoz kisebb energia tartozik. (A gravitációs potenciálról bővebben a K. M. L. XXIV. kötet 233. old. Kovács Mihály: Erőterek szemléletes ábrázolása c. cikkében olvashatunk.) Induláskor a testek összenergiája (a helyzeti energiát páronként számolva) E1=-3fmm2a. A találkozás pillanatában az összes energia E2=3mv22-3fm22r ahol v a testek sebessége. Az energia-tétel alapján E1=E2. Rendezés után
v=2fm(12r-1a).(1)
Ha r lényegesen kisebb, mint a, akkor 1/2r mellett 1/a elhanyagolható, és (1) így alakul:
v=fmr.
Ha az ütközés tökéletesen rugalmas, akkor a testek sebességcsökkenés nélkül pattannak vissza, és mozgásuk a visszafelé játszott filmhez hasonlóan a korábbi mozgás fordítottja lesz. Így az indulás után T idővel ismét a kiindulási helyen lesznek, majd további T/2 idő elteltével megint a középpontban találkoznak.
Numerikus adatokkal, az f=6,6710-11Nm2kg2 érték felhasználásával.
T/2=1,1.106s=12nap20óra,v=1,0510-4m/s=0,105mm/s.



László István (Győr, Czuczor Gergely Gimn., IV. o. t. )

és Spitzer József (Bp., Vörösmarty M. Gimn. IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A testek kezdetben nyugalomban voltak, így a rendszer súlypontja is állt. Külső erő hatása nélkül a súlypont a mozgás során végig mozdulatlan, így a találkozás helye csak a súlypont lehet.
Görög Imre (Bp., Kaffka M. Gimn., IV. o. t.)

 
2. Úgy látszik, a golyók nem földi anyagból vannak, hiszen a numerikus adatokat használva sűrűségükre 44,2kg/dm3-t nyerünk.
Bálványos Zoltán (Makó, József A. Gimn., IV. o. t.)