Feladat: 770. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bajmóczy Ervin ,  Büttner György ,  Nagy Zsigmond ,  Szörényi András ,  Takács László ,  Végvári István 
Füzet: 1969/február, 85 - 87. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pillanatnyi forgástengely, Forgási energia, Energiamegmaradás, Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/május: 770. fizika feladat

Egy l hosszúságú rúd a függőleges fal mellett súrlódásmentesen csúszik le.
a) Milyen görbén mozog a pillanatnyi forgástengely?
b) Milyen görbén mozog a rúd súlypontja?
c) Mekkora a végpontok sebessége abban a pillanatban, amikor a rúd vízszintes helyzetbe jut?
d) Milyen görbén mozog a rúd tetszőleges P pontja, amely a/b arányban osztja a rudat? (L. a 225. oldalon közölt cikket!)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel, hogy a kényszerfeltétel olyan, hogy az l hosszúságú rúd egyik vége mindig a függőleges fal mentén, a másik vége vízszintesen csúszik. A rúd két végének sebessége tehát függőleges, illetve vízszintes irányú. A forgástengelyt a sebességekre merőleges irányban kell keresni, tehát a forgástengely az OARB téglalap R csúcsa. Mivel a téglalap két átlója megegyezik, az R pont távolsága az O ponttól mindig l. Ebből látszik, hogy a forgástengely az O pont körüli l sugarú körön helyezkedik el.
Homogén rudat feltételezve, a súlypont a rúd közepében van, amely pont egyben az OARB téglalap középpontja is. Ez a pont az O ponttól mindig l/2 távolságra van, tehát a súlypont egy O középpontú l/2 sugarú körön mozog.
A végpontok sebességét a rúd vízszintes helyzetbe jutásának pillanatában az energiatételből lehet legkönnyebben meghatározni. Kezdetben a rúdnak helyzeti energiája van:

EH=mgl2
(l/2 a súlypont kezdeti magassága), és ez egyezik meg a végső energiával. Hogy a mozgás létrejöjjön, a rudat ki kell mozgatni labilis egyensúlyi helyzetéből. Mivel ehhez már bármilyen kicsi elmozdulás is elég, energiában járulékot nem ad.
A végső helyzetben a rúd már csak mozgási energiával rendelkezik, mely a forgástengelyre vonatkoztatva forgási energia,
EF=12Iω2,
ahol I=13ml2. Mivel a rúd vízszintes helyzetbe jutásakor a B pont forgástengely, vB=0, vA=ωl. Ebből
mgl2=1213ml2(vAl)2,vA=3gl;vB=0.



Ha a rudat a/b arányban felosztjuk, akkor az egyik rész laa+b, a másik rész lba+b hosszúságú.
 

 

Az ábra szerint a P pont koordinátái
x=lba+bcosα;y=laa+bsinα,
és a két egyenletből α kiküszöbölésével
x2(lba+b)2+y2(laa+b)2=1,
központi helyzetű ellipszis egyenletét kapjuk.
 

  Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. g. III. o. t. )
 

Megjegyzés. Ha a kényszerfeltételt csak egy függőleges fal képviseli, akkor súrlódás nélküli esetben a rúd eltávolodik a faltól mozgása folyamán. A fal mentén történő lecsúszás csak olyan sínes szerkezettel oldható meg, mely biztosítani tudja, hogy a kényszererő mindkét irányba hasson.
 

  Bajmóczy E., Büttner Gy., Nagy Zs., Talács L., Végvári I.