Kezdőlap


Feladat:	770. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Büttner György , Nagy Zsigmond , Szörényi András , Takács László , Végvári István
Füzet:	1969/február, 85 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pillanatnyi forgástengely, Forgási energia, Energiamegmaradás, Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 770. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel, hogy a kényszerfeltétel olyan, hogy az $l$ hosszúságú rúd egyik vége mindig a függőleges fal mentén, a másik vége vízszintesen csúszik. A rúd két végének sebessége tehát függőleges, illetve vízszintes irányú. A forgástengelyt a sebességekre merőleges irányban kell keresni, tehát a forgástengely az $O A R B$ téglalap $R$ csúcsa. Mivel a téglalap két átlója megegyezik, az $R$ pont távolsága az $O$ ponttól mindig $l$ . Ebből látszik, hogy a forgástengely az $O$ pont körüli $l$ sugarú körön helyezkedik el.
Homogén rudat feltételezve, a súlypont a rúd közepében van, amely pont egyben az $O A R B$ téglalap középpontja is. Ez a pont az $O$ ponttól mindig $l / 2$ távolságra van, tehát a súlypont egy $O$ középpontú $l / 2$ sugarú körön mozog.
A végpontok sebességét a rúd vízszintes helyzetbe jutásának pillanatában az energiatételből lehet legkönnyebben meghatározni. Kezdetben a rúdnak helyzeti energiája van:

\begin{matrix} E_{H} = m g \frac{l}{2} \end{matrix}

(

l / 2

a súlypont kezdeti magassága), és ez egyezik meg a végső energiával. Hogy a mozgás létrejöjjön, a rudat ki kell mozgatni labilis egyensúlyi helyzetéből. Mivel ehhez már bármilyen kicsi elmozdulás is elég, energiában járulékot nem ad.
A végső helyzetben a rúd már csak mozgási energiával rendelkezik, mely a forgástengelyre vonatkoztatva forgási energia,

\begin{matrix} E_{F} = \frac{1}{2} I ω^{2}, \end{matrix}

ahol

I = \frac{1}{3} m l^{2}

. Mivel a rúd vízszintes helyzetbe jutásakor a

B

pont forgástengely,

v_{B} = 0

v_{A} = ω l

. Ebből

\begin{matrix} m g \frac{l}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} m l^{2} {(\frac{v_{A}}{l})}^{2}, \\ v_{A} = \sqrt[]{3 g l}; v_{B} = 0. \end{matrix}

Ha a rudat

a / b

arányban felosztjuk, akkor az egyik rész

l \frac{a}{a + b}

, a másik rész

l \frac{b}{a + b}

hosszúságú.

Az ábra szerint a

P

pont koordinátái

\begin{matrix} x = l \frac{b}{a + b} cos α; y = l \frac{a}{a + b} sin α, \end{matrix}

és a két egyenletből

α

kiküszöbölésével

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{{(l \frac{b}{a + b})}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(l \frac{a}{a + b})}^{2}} = 1, \end{matrix}

központi helyzetű ellipszis egyenletét kapjuk.

Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. g. III. o. t. )

Megjegyzés. Ha a kényszerfeltételt csak egy függőleges fal képviseli, akkor súrlódás nélküli esetben a rúd eltávolodik a faltól mozgása folyamán. A fal mentén történő lecsúszás csak olyan sínes szerkezettel oldható meg, mely biztosítani tudja, hogy a kényszererő mindkét irányba hasson.

Bajmóczy E., Büttner Gy., Nagy Zs., Talács L., Végvári I.