Feladat: 719. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Jung József 
Füzet: 1968/április, 188. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Harmonikus rezgőmozgás, Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/október: 719. fizika feladat

Az m tömegű, r sugarú homogén anyageloszlású koronghoz a korongra tekert fonalakkal az ábra szerint m1 és m2 tömegek csatlakoznak. A fonál csúszásmentesen van a korongra csavarva. A koronghoz D direkciós nyomatékú spirálrugó csatlakozik.
1. Jellemezzük a korong mozgását.
2. Határozzuk meg a fonalakban és a korong csapágyában ébredő erők időtől való függését.
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszer mozgásának jellemzésére alkalmazzuk a mozgásegyenleteket. Írjuk fel Newton második törvényét a két tömegpontra. A tömegpontok gyorsulása legyen lefelé irányítva, és a kötélerők legyenek K1 és K2.

 

 


m1a1=m1g-K1;m2a2=m2g-K2.


A forgómozgás alapegyenletéből a korongra az
Iβ=(K1-K2)r-Dφ
egyenletet kapjuk, ahol (K1-K2)r az m1 és m2 tömegek által létrehozott forgatónyomaték, ‐ Dφ a spirálrugó forgatónyomatéka, I=(1/2)mr2 a korong tehetetlenségi nyomatéka és β a szöggyorsulás.
Abból a kényszerfeltételből, hogy a fonál nyújthatatlan és hogy csúszásmentesen van a kötélre csavarva, kapjuk, hogy
β=a1r=-a2r;ésφ=yr(ya kitérés).
Behelyettesítve a mozgásegyenletekbe:
m1a1=m1g-K1,-m2a1=m2g-K2,

12mr2a1r=(K1-K2)r-Dyr.
E három egyenletből rendezés után:
(12m+m1+m2)a1=-Dyr2+(m1-m2)g.
Ez az egyenlet megfelel egy 12m+m1+m2 tömegű és Dr2 direkciós erejű rugó mozgásegyenletének, mely (m1-m2)g erővel van feszítve. A mozgás harmonikus rezgőmozgás lesz, és a feszítés csak az egyensúlyi helyzet eltolódását jelenti. Ennek a rezgőmozgásnak a körfrekvenciája
ω=D(12m+m1+m2)r2.
Ismeretes, hogy A amplitúdó esetén a rezgőmozgás gyorsulása: a1=Aω2sinωt. Ezekből az adatokból kiszámíthatjuk a K1, ill. a K2 fonálerőt.
K1=m1(g-a1)=m1(g-Aω2sinωt),K2=m2(g+a1)=m2(g+Aω2sinωt).
A csigára ezen két erő összege hat:
K=K1+K2=(m1+m2)g+(m2-m1)Aω2sinωt.

Megjegyzés. A megoldás csak akkor ilyen alakú, ha a fonál által továbbított erő a fonalat feszíti, azaz ha K1 és K2 pozitív minden időpillanatban, vagyis ha g-a1>0 és g+a1>0 más szóval g>|a1|.
 

  Jung József (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.)