Kezdőlap


Feladat:	719. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jung József
Füzet:	1968/április, 188. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Harmonikus rezgőmozgás, Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/október: 719. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszer mozgásának jellemzésére alkalmazzuk a mozgásegyenleteket. Írjuk fel Newton második törvényét a két tömegpontra. A tömegpontok gyorsulása legyen lefelé irányítva, és a kötélerők legyenek $K_{1}$ és $K_{2}$ .

\begin{matrix} m_{1} a_{1} = m_{1} g - K_{1}; \\ m_{2} a_{2} = m_{2} g - K_{2} . \end{matrix}

A forgómozgás alapegyenletéből a korongra az

\begin{matrix} I β = (K_{1} - K_{2}) r - D φ \end{matrix}

egyenletet kapjuk, ahol

(K_{1} - K_{2}) r

m_{1}

és

m_{2}

tömegek által létrehozott forgatónyomaték, ‐

D φ

a spirálrugó forgatónyomatéka,

I = (1 / 2) m r^{2}

a korong tehetetlenségi nyomatéka és

β

a szöggyorsulás.
Abból a kényszerfeltételből, hogy a fonál nyújthatatlan és hogy csúszásmentesen van a kötélre csavarva, kapjuk, hogy

\begin{matrix} β = \frac{a_{1}}{r} = - \frac{a_{2}}{r}; és φ = \frac{y}{r} (y \end{matrix}

Behelyettesítve a mozgásegyenletekbe:

\begin{matrix} m_{1} a_{1} = m_{1} g - K_{1}, \\ - & m_{2} a_{1} = m_{2} g - K_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{2} m r^{2} \frac{a_{1}}{r} = (K_{1} - K_{2}) r - D \frac{y}{r} . \end{matrix}

E három egyenletből rendezés után:

\begin{matrix} (\frac{1}{2} m + m_{1} + m_{2}) a_{1} = - D \frac{y}{r^{2}} + (m_{1} - m_{2}) g . \end{matrix}

Ez az egyenlet megfelel egy

\frac{1}{2} m + m_{1} + m_{2}

tömegű és

\frac{D}{r^{2}}

direkciós erejű rugó mozgásegyenletének, mely

(m_{1} - m_{2}) g

erővel van feszítve. A mozgás harmonikus rezgőmozgás lesz, és a feszítés csak az egyensúlyi helyzet eltolódását jelenti. Ennek a rezgőmozgásnak a körfrekvenciája

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{D}{(\frac{1}{2} m + m_{1} + m_{2}) r^{2}}} . \end{matrix}

Ismeretes, hogy

A

amplitúdó esetén a rezgőmozgás gyorsulása:

a_{1} = A ω^{2} sin ω t

. Ezekből az adatokból kiszámíthatjuk a

K_{1}

, ill. a

K_{2}

fonálerőt.

\begin{matrix} K_{1} = m_{1} (g - a_{1}) = m_{1} (g - A ω^{2} sin ω t), \\ K_{2} = m_{2} (g + a_{1}) = m_{2} (g + A ω^{2} sin ω t) . \end{matrix}

A csigára ezen két erő összege hat:

\begin{matrix} K = K_{1} + K_{2} = (m_{1} + m_{2}) g + (m_{2} - m_{1}) A ω^{2} sin ω t . \end{matrix}

Megjegyzés. A megoldás csak akkor ilyen alakú, ha a fonál által továbbított erő a fonalat feszíti, azaz ha

K_{1}

és

K_{2}

pozitív minden időpillanatban, vagyis ha

g - a_{1} > 0

és

g + a_{1} > 0

más szóval

g > | a_{1} |

Jung József (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.)