Feladat: 691. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Hegedüs Endre ,  Mihály László ,  Szörényi András ,  Takács László ,  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 1968/február, 91 - 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb merev test egyensúlya, Egyéb mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/április: 691. fizika feladat

R=10cm rádiuszú egyenes körhenger tömegeloszlása nem egyenletes, ezért súlypontja r=6cm távolságban van a tengelytől. Rá lehet-e ezt a hengert helyezni egy α=30-os hajlásszögű lejtőre úgy, hogy ne guruljon le ? A henger tengelye legyen vízszintes. A csúszó súrlódás elegendő ahhoz, hogy a henger ne csússzon le, de a gördülő ellenállás elhanyagolható. Vizsgáljuk meg, hogy mekkora kimozdításig terjed a stabilitás.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Készítsük el 1. ábránkat úgy, hogy a henger C középpontját ugyanott tartjuk és gondolatban húzzuk a lejtőt fel-le.

 

 

1. ábra
 

Ekkor az S súlypont CS=r rádiuszú köríven mozog és a henger legördülésének mértékét a φ=OCS adja meg. A henger súlyából származó forgatónyomaték erőkarja egyenlő S-nek az O érintkezési pontban emelt függőlegestől való merőleges távolságával. Egyensúly esetében S súlypontnak A vagy B pontban kell lennie. Ez csak akkor lehetséges, ha rRsinα.
Az A ponthoz tartozó φ legördülési szöget az OAC háromszögből határozzuk meg:
sin(α+φm)sinα=Rr.
Ennek megoldása:
cosφm=Rsin2αr[1±ctgα(rRsinα)2-1].
A súlypont minimumánál (A)
cosφm=0,8953,φm=26,45=0,462radián,
a súlypont maximumánál (B)
cosφm=-0,0621,φm=93,56=1,63radián,

Ha O-ba helyezzük a koordinátarendszer kezdőpontját és keressük, hogy a legördülő henger súlypontja milyen görbén mozog, akkor kapjuk a súlypontpálya görbéjének (egy ún. cikloisznak) paraméteres egyenletét:
x=-Rcosαφ-Rsinα+rsin(α+φ),y=-Rsinαφ+Rcosα-rcos(α+φ).
A súlypont pályáját a 2. ábra folytonos vonala mutatja.
 

 

2. ábra
 

S-ben van a minimum (A), S'-ben a maximum (B). Ha úgy helyezzük a hengert a lejtőre, hogy súlypontja a pálya S'S'' részén legyen, akkor a henger nem gurul le, hanem lengéseket végez S helyzet körül (lejtőre helyezett ,,keljfel-Jancsi''). Ha a súlyponttávolság r=4 cm, akkor a súlypont a szaggatott vonallal feltüntetett pályán mozog és nincs minimum, a henger legurul (r<Rsinα).
 

  Hegedűs Endre (Bp., Steinmetz g. IV. o. t.)