Kezdőlap


Feladat:	691. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegedüs Endre , Mihály László , Szörényi András , Takács László , Woynarovich Ferenc
Füzet:	1968/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test egyensúlya, Egyéb mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/április: 691. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Készítsük el 1. ábránkat úgy, hogy a henger $C$ középpontját ugyanott tartjuk és gondolatban húzzuk a lejtőt fel-le.

1. ábra

Ekkor az

S

súlypont

C S = r

rádiuszú köríven mozog és a henger legördülésének mértékét a

φ = O C S ∢

adja meg. A henger súlyából származó forgatónyomaték erőkarja egyenlő

S

-nek az

O

érintkezési pontban emelt függőlegestől való merőleges távolságával. Egyensúly esetében

S

súlypontnak

A

vagy

B

pontban kell lennie. Ez csak akkor lehetséges, ha

r \geq R sin α

.
Az

A

ponthoz tartozó

φ

legördülési szöget az

O A C

háromszögből határozzuk meg:

\begin{matrix} \frac{sin (α + φ_{m})}{sin α} = \frac{R}{r} . \end{matrix}

Ennek megoldása:

\begin{matrix} cos φ_{m} = \frac{R sin^{2} α}{r} \cdot [1 \pm ctg α \sqrt[]{{(\frac{r}{R sin α})}^{2} - 1}] . \end{matrix}

A súlypont minimumánál (A)

\begin{matrix} cos φ_{m} = 0, 8953, φ_{m} = 26, 45^{\circ} = 0, 462 radián, \end{matrix}

a súlypont maximumánál (B)

\begin{matrix} cos φ_{m} = - 0, 0621, φ_{m} = 93, 56^{\circ} = 1, 63 radián, \end{matrix}

O

-ba helyezzük a koordinátarendszer kezdőpontját és keressük, hogy a legördülő henger súlypontja milyen görbén mozog, akkor kapjuk a súlypontpálya görbéjének (egy ún. cikloisznak) paraméteres egyenletét:

\begin{matrix} x & = - R cos α \cdot φ - R sin α + r sin (α + φ), \\ y & = - R sin α \cdot φ + R cos α - r cos (α + φ) . \end{matrix}

A súlypont pályáját a 2. ábra folytonos vonala mutatja.

2. ábra

S

-ben van a minimum (A),

S'

-ben a maximum (B). Ha úgy helyezzük a hengert a lejtőre, hogy súlypontja a pálya

S' S''

részén legyen, akkor a henger nem gurul le, hanem lengéseket végez

S

helyzet körül (lejtőre helyezett ,,keljfel-Jancsi''). Ha a súlyponttávolság

r = 4

cm, akkor a súlypont a szaggatott vonallal feltüntetett pályán mozog és nincs minimum, a henger legurul (

r < R sin α

Hegedűs Endre (Bp., Steinmetz g. IV. o. t.)