Feladat: 685. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Büttner György ,  Faragó László ,  Fialovszky Alice ,  Fischer Ágnes ,  Horváthy Péter 
Füzet: 1968/január, 44 - 46. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/április: 685. fizika feladat

Két, egymástól L távolságra levő párhuzamos vízszintes úton egymással szemben fekvő A és B pontból egy irányban és egy időben egyenletesen gyorsuló mozgással megindul egy-egy autó. Mindkét autónak azonos a gyorsulása van. A B pontból induló autóból távolság megtétele után a másik autóra lőnek. Mekkora szöggel kell az autó elé célozni, s hogyan függ ez a szög a megtett úttól? Tekintsük a nyugvó fegyverből kirepülő lövedék mozgását v0 sebességű egyenletes, egyenes vonalú mozgásnak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A golyót v0 sebességgel és az autók mozgásirányára merőleges egyenessel α szöget bezáró irányba lövik ki. Mindkét autónak ekkor 2al sebessége van és a golyó a két sebesség vektori összegének megfelelő sebességgel fog mozogni. A golyó t=L/(v0cosα) idő múlva találja el a másik autót. Ezalatt az autók s=2alt+at2/2 utat tesznek meg. Ekkora utat kell megtennie a golyónak is az autók mozgásirányában. A golyó által ebben az irányban megtett út (2al+v0sinα)t, így

2alt+at2/2=(2al+v0sinα)t.
Látható, hogy a 2alt útösszetevő kiesik az összefüggésből. Ez azzal a fizikai tartalommal bír, hogy az eredmény független attól, hogy a jelenséget a kilövés pillanatában nulla vagy 2al (illetve tetszőleges) sebességű vonatkoztatási rendszerben írjuk-e le. A kilövés szöge nem függ a megtett úttól.
A számítást tovább folytatva és az összefüggésbe beírva a repülési idő kifejezését
aL/(2v0cosα)=v0sinα,
és a kétszeres szögre vonatkozó összefüggést felhasználva
sin2α=aL/v02.
Az összefüggés analitikus tulajdonságait megvizsgálva látható, hogy megoldás csak akkor van, ha v02aL, tehát a golyó sebességének egy minimális értéket el kell érnie. Ha v02=aL, akkor α=45, ha v02>aL, α-ra két értéket kapunk, amelyek egymás pótszögei. Ha a=0, vagyis az autó egyenletesen mozog, akkor α=0, a golyót az útra merőlegesen kell kilőni.
 

 Büttner György (Esztergom, I. István g. II. o. t.)
 

 

Megjegyzések. 1. A megtett utak és a két út közötti távolság által bezárt derékszögű háromszögben felírva a Pythagoras‐tételt és a tangens összefüggést
(at2/2)2+L2=(v0t)2,tg α=at2/2L,


a repülési idő kiküszöbölhető és
tg α=v02±v04-a2L2aL.
 Fischer Ágnes (Bp., Móricz Zs. g. I. o. t.)
 

2. Más végösszefüggést kapunk, ha az aL/(2v0cosα)=v0sinα összefüggésben a cosα-t sinusfüggvénnyel helyettesítjük. Ekkor sinα-ra másodfokúra redukálható negyedfokú egyenletet kapunk, amelyből
sinα=1±1-a2L2/v042.
 Fialovszky Alice (Bp., Patrona Hungarise g. II. o. t.)
 

3. Írjuk le az eredményeket a gyorsuló autóhoz (B) rögzített vonatkoztatási rendszerben. Ebben a rendszerben minden esemény úgy zajlik le, mint egy nyugvó koordináta‐rendszerben, amelyben az autóút irányában egy a gyorsulású, a gravitációhoz hasonló erő hat. Az A autó ebben a rendszerben nyugalomban van. A feladat így visszavezethető egy olyan ferde hajításra, ahol azt a hajítási szöget keressük, amely mellett a v0 kezdősebességű golyó L távolságra esik le. A ferde hajítás távolsága
L=v02sin2α/a és ebbőlsin2α=aL/v02.
 Faragó László (Bp., Fazekas M. g. II. o. t.)
 

4. Néhányan úgy értelmezték a feladatot, hogy az autók egymással szemben haladnak. A feladat ekkor negyedfokú egyenletre vezet.