Kezdőlap


Feladat:	685. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Büttner György , Faragó László , Fialovszky Alice , Fischer Ágnes , Horváthy Péter
Füzet:	1968/január, 44 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/április: 685. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A golyót $v_{0}$ sebességgel és az autók mozgásirányára merőleges egyenessel $α$ szöget bezáró irányba lövik ki. Mindkét autónak ekkor $\sqrt[]{2 a l}$ sebessége van és a golyó a két sebesség vektori összegének megfelelő sebességgel fog mozogni. A golyó $t = L / (v_{0} \cdot cos α)$ idő múlva találja el a másik autót. Ezalatt az autók $s = \sqrt[]{2 a l} \cdot t + a \cdot t^{2} / 2$ utat tesznek meg. Ekkora utat kell megtennie a golyónak is az autók mozgásirányában. A golyó által ebben az irányban megtett út $(\sqrt[]{2 a l} + v_{0} \cdot sin α) \cdot t$ , így

\begin{matrix} \sqrt[]{2 a l} \cdot t + a \cdot t^{2} / 2 = (\sqrt[]{2 a l} + v_{0} sin α) \cdot t . \end{matrix}

Látható, hogy a

\sqrt[]{2 a l} \cdot t

útösszetevő kiesik az összefüggésből. Ez azzal a fizikai tartalommal bír, hogy az eredmény független attól, hogy a jelenséget a kilövés pillanatában nulla vagy

\sqrt[]{2 a l}

(illetve tetszőleges) sebességű vonatkoztatási rendszerben írjuk-e le. A kilövés szöge nem függ a megtett úttól.
A számítást tovább folytatva és az összefüggésbe beírva a repülési idő kifejezését

\begin{matrix} a \cdot L / (2 \cdot v_{0} \cdot cos α) = v_{0} \cdot sin α, \end{matrix}

és a kétszeres szögre vonatkozó összefüggést felhasználva

\begin{matrix} s i n 2 α = a \cdot L / v_{0}^{2} . \end{matrix}

Az összefüggés analitikus tulajdonságait megvizsgálva látható, hogy megoldás csak akkor van, ha

v_{0}^{2} \geq a \cdot L

, tehát a golyó sebességének egy minimális értéket el kell érnie. Ha

v_{0}^{2} = a \cdot L

, akkor

α = 45^{\circ}

, ha

v_{0}^{2} > a \cdot L

α

-ra két értéket kapunk, amelyek egymás pótszögei. Ha

a = 0

, vagyis az autó egyenletesen mozog, akkor

α = 0

, a golyót az útra merőlegesen kell kilőni.

Büttner György (Esztergom, I. István g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A megtett utak és a két út közötti távolság által bezárt derékszögű háromszögben felírva a Pythagoras‐tételt és a tangens összefüggést

\begin{matrix} {(a \cdot t^{2} / 2)}^{2} + L^{2} = {(v_{0} \cdot t)}^{2}, \\ tg α = \frac{a \cdot t^{2} / 2}{L}, \end{matrix}

a repülési idő kiküszöbölhető és

\begin{matrix} tg α = \frac{v_{0}^{2} \pm \sqrt[]{v_{0}^{4} - a^{2} \cdot L^{2}}}{a \cdot L} . \end{matrix}

Fischer Ágnes (Bp., Móricz Zs. g. I. o. t.)

2. Más végösszefüggést kapunk, ha az

a \cdot L / (2 \cdot v_{0} \cdot cos α) = v_{0} \cdot sin α

összefüggésben a

cos α

-t sinusfüggvénnyel helyettesítjük. Ekkor

sin α

-ra másodfokúra redukálható negyedfokú egyenletet kapunk, amelyből

\begin{matrix} sin α = \sqrt[]{\frac{1 \pm \sqrt[]{1 - a^{2} \cdot L^{2} / v_{0}^{4}}}{2}} . \end{matrix}

Fialovszky Alice (Bp., Patrona Hungarise g. II. o. t.)

3. Írjuk le az eredményeket a gyorsuló autóhoz

(B)

rögzített vonatkoztatási rendszerben. Ebben a rendszerben minden esemény úgy zajlik le, mint egy nyugvó koordináta‐rendszerben, amelyben az autóút irányában egy a gyorsulású, a gravitációhoz hasonló erő hat. Az

A

autó ebben a rendszerben nyugalomban van. A feladat így visszavezethető egy olyan ferde hajításra, ahol azt a hajítási szöget keressük, amely mellett a

v_{0}

kezdősebességű golyó

L

távolságra esik le. A ferde hajítás távolsága

\begin{matrix} L = v_{0}^{2} \cdot sin 2 α / a és ebből sin 2 α = a \cdot L / v_{0}^{2} . \end{matrix}

Faragó László (Bp., Fazekas M. g. II. o. t.)

4. Néhányan úgy értelmezték a feladatot, hogy az autók egymással szemben haladnak. A feladat ekkor negyedfokú egyenletre vezet.