Feladat: 669. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Augusztinovicz Fülöp ,  Battha László ,  Bodoky Péter ,  Bor Zsolt ,  Diósi Lajos ,  Dombi József ,  Tegze Judit 
Füzet: 1967/december, 230 - 232. oldal  PDF file
Témakör(ök): Coulomb-törvény, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/február: 669. fizika feladat

R sugarú kör alakú zárt vezető lánc töltése q. A kör középpontjában Q töltés van (Qq). Mekkora erő feszíti a láncot?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Osszuk fel a láncot Δl ívhosszúságú részekre (1. ábra). Erre az ívre egy Pe nagyságú erő hat. Mivel q kicsi, a lánc többi részének ezen Δl hosszúságú szakaszra gyakorolt hatását Q mellett el lehet hagyni. Coulomb törvénye értelmében (F=ke1e2r2, k függ az egységrendszertől, CGS-ben k=1, és Giorgi rendszerben k=14πε0), a Q nagyságú töltés ezen szakaszra

Pe=kqΔl2πRQR2erővel hat,
ahol qΔl2πR a Δl szakaszon levő töltés.
 
 

Ezzel az erővel tart egyensúlyt a P feszítőerő. Feltételezve, hogy az ív kicsi, hasonló háromszögekből adódik, hogy
PPe=RΔl,innenP=PeRΔl,azazP=kqQ2πR2.
Ekkora erő feszíti a láncot.
 
Augusztinovicz Fülöp (Sopron, Széchenyi g. IV. o. t.)

 
 

II. Megoldás. Felezzük meg a kört átmérője mentén, és osszuk fel az átmérőt h nagyságú darabokra. Az ívhez tartozó sugár átmérővel bezárt szöge legyen α (2. ábra). Ekkor, ha az ív nem túl nagy, i=hsinα hosszúságú, és ezen qi2Rπ töltés van.
Coulomb törvénye alapján az ívre ható erő
Pi=kQqi2RπR2.
Ezen erők összegének kell egyensúlyt tartania a feszítőerőkkel. Az ábrán látható, hogy az erők P''i vízszintes komponensei szimmetria meggondolásokból összegezéskor kiesnek, a függőleges komponensekre pedig 2P=ΣP'1 összefüggés áll fenn.
Mivel
P'i=Pisinα=kQqi2RπR2hi=kQqh2πR3
az összegezést elvégezve:
2P=kQq2R2πR3,P=kQq2πR2.

Tegze Judit (Bp., Kölcsey F. g. III. o. t.)

 

Megjegyzés. A feladat megoldása analóg azzal, mikor egy kör alakú edényben
P=kQqR22Rπ
nyomású folyadék van, és a kerületi feszítőerőt keressük.
 

III. megoldás. A láncot a Coulomb-féle erők tágítani igyekeznek. Ezek az erők sugárirányúak, és sugárirányú komponensük, azaz abszolút értékük összege
P'=kQqR2.
Ha lánc ΔR-rel kitágul, akkor a végzett munka
L=P'ΔR=kQqR2ΔR.(1)

Ezzel a P' erővel tart egyensúlyt a láncban a feszítőerő, P. Tehát a munkát felírhatjuk úgy, mintha a P erő végezte volna. Mivel a P irányban a nyúlás 2πΔR, a munka
L=P2πΔR.(2)

Az (1) -et (2) egyenletből
P=kQq2πR2.

Diósi Lajos (Bp., Apáczai Csere J. g. III. o. t.)